笛卡尔数

笛卡尔数（Descartes number）指的是假若将其中一个合成数因数当成质数处理，就会变成完全数的奇数。这类数字以勒内·笛卡尔为名，而这是因为笛卡尔注意到说假若把22021当成质数处理的话，那么D = 3²⋅7²⋅11²⋅13²⋅22021 = (3⋅1001)² ⋅ (22⋅1001 − 1) = 198585576189就会满足完全数的条件之故，而这是因为假若把22021当成质数处理的话，其正因数的和就会满足下式：

${\displaystyle {\begin{aligned}\sigma (D)&=(3^{2}+3+1)\cdot (7^{2}+7+1)\cdot (11^{2}+11+1)\cdot (13^{2}+13+1)\cdot (22021+1)=(13)\cdot (3\cdot 19)\cdot (7\cdot 19)\cdot (3\cdot 61)\cdot (22\cdot 1001)\\&=3^{2}\cdot 7\cdot 13\cdot 19^{2}\cdot 61\cdot (22\cdot 7\cdot 11\cdot 13)=2\cdot (3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2})\cdot (19^{2}\cdot 61)=2\cdot (3^{2}\cdot 7^{2}\cdot 11^{2}\cdot 13^{2})\cdot 22021=2D,\end{aligned}}}$

当然在事实上，22021是一个合成数（22021 = 19² ⋅ 61），因此198585576189并不是完全数，而198585576189是笛卡尔数的一个例子。

笛卡尔数可定义为满足n = m ⋅ p的奇数n，在其中 m 与 p 互质且2n = σ(m) ⋅ (p + 1)，而此处的p是一个被当成质数处理但实质上是合成数的“假质数”（spoof prime）。上面给出的例子是截至目前为止唯一已知的笛卡尔数的例子。

若m是一个殆完全数，^{[注 1]}，也就是说若σ(m) = 2m − 1且 2m − 1 是一个“假质数”，那么n = m ⋅ (2m − 1)就会是一个笛卡尔数，而这是因为σ(n) = σ(m ⋅ (2m − 1)) = σ(m) ⋅ 2m = (2m − 1) ⋅ 2m = 2n之故；而若2m − 1是一个质数的话，那n就会是一个奇完全数。

性质

班柯斯（Banks）等人在2008年证明说，若n是一个无立方因子数，且n不能为${\displaystyle 3}$所除尽，那么n就会有超过一百万个彼此相异的质因数。

推广

约翰·渥伊多（John Voight）提出一个容许负整数的推广版笛卡尔数，他发现说在考虑负整数的状况下，${\displaystyle 3^{4}7^{2}11^{2}19^{2}(-127)^{1}}$这数字会符合笛卡尔数的定义。^[1]之后一群来自杨百翰大学的学者发现了更多类似的例子，^[1]并加入了另一类的“假质数”，而这另一类的“假质数”允许在质因数分解时其中一个质数与另一个质数相同。^[2]

参见

• 艾狄胥－尼古拉斯数（英语：Erdős–Nicolas number），另一类的殆完全数

注释

1. 截至目前为止，所有已知的殆完全数都是2的非负次幂，因此唯一已知奇数的殆完全数为2⁰ = 1.。

引文来源

1. Nadis, Steve. Mathematicians Open a New Front on an Ancient Number Problem. Quanta Magazine. September 10, 2020 [3 October 2021]. （原始内容存档于2023-04-27）.
2. Andersen, Nickolas; Durham, Spencer ; Griffin, Michael J. ; Hales, Jonathan ; Jenkins, Paul ; Keck, Ryan ; Ko, Hankun ; Molnar, Grant; Moss, Eric ; Nielsen, Pace P. ; Niendorf, Kyle ; Tombs, Vandy; Warnick, Merrill ; Wu, Dongsheng. Odd, spoof perfect factorizations. J. Number Theory. 2020, (234): 31-47. arXiv:2006.10697 . arXiv version （页面存档备份，存于互联网档案馆）

参考资料

• Banks, William D.; Güloğlu, Ahmet M.; Nevans, C. Wesley; Saidak, Filip. Descartes numbers. De Koninck, Jean-Marie; Granville, Andrew; Luca, Florian (编). Anatomy of integers. Based on the CRM workshop, Montreal, Canada, March 13--17, 2006. CRM Proceedings and Lecture Notes 46. Providence, RI: American Mathematical Society. 2008: 167–173. ISBN 978-0-8218-4406-9. Zbl 1186.11004.
• Klee, Victor; Wagon, Stan. Old and new unsolved problems in plane geometry and number theory. The Dolciani Mathematical Expositions 11. Washington, DC: Mathematical Association of America. 1991. ISBN 0-88385-315-9. Zbl 0784.51002. 含有内容需登入查看的页面 (link)