离散对数

在整数中，离散对数（英语：Discrete logarithm）是一种基于同余运算和原根的一种对数运算。而在实数中对数的定义 ${\displaystyle \log _{b}a}$ 是指对于给定的 ${\displaystyle a}$ 和 ${\displaystyle b}$，有一个数 ${\displaystyle x}$，使得${\displaystyle b^{x}=a}$。相同地在任何群 G中可为所有整数 ${\displaystyle k}$ 定义一个幂数为 ${\displaystyle b^{k}}$，而离散对数 ${\displaystyle \log _{b}a}$ 是指使得 ${\displaystyle b^{k}=a}$ 的整数 ${\displaystyle k}$ 。 离散对数在一些特殊情况下可以快速计算。然而，通常没有具非常效率的方法来计算它们。公钥密码学中几个重要算法的基础，是假设寻找离散对数的问题解，在仔细选择过的群中，并不存在有效率的求解算法。

定义

当模${\displaystyle m}$有原根时，设${\displaystyle l}$为模${\displaystyle m}$的一个原根，则当${\displaystyle x\equiv l^{k}{\pmod {m}}}$时：

${\displaystyle Ind_{l}x\equiv k{\pmod {m}}}$，此处的${\displaystyle Ind_{l}x}$为${\displaystyle x}$以整数${\displaystyle l}$为底，模${\displaystyle m}$时的离散对数值

性质

离散对数和一般的对数有着相类似的性质：

• ${\displaystyle Ind_{l}xy\equiv Ind_{l}x+Ind_{l}y{\pmod {\phi (m)}}}$
• ${\displaystyle Ind_{l}x^{y}\equiv yInd_{l}x{\pmod {\phi (m)}}}$

参见

• 原根
• 对数