福克-普朗克方程

福克-普朗克方程（Fokker–Planck equation）描述粒子在势能场中受到随机力后，随时间演化的位置或是速度的分布函数 ^[1] 。此方程以荷兰物理学家阿德里安·福克^[2]与马克斯·普朗克^[3]的姓氏来命名。

存在拖拽和扩散项时，福克-普朗克方程的一个一维解。初始状态为远离零速度的δ函数，随机冲击使其分布逐渐变宽

一维 x方向上,福克-普朗克方程有两个参数，一是拖拽参数 D₁(x,t)，另一是扩散 D₂(x,t)

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}f(x,t)=-{\frac {\partial }{\partial x}}\left[D_{1}(x,t)f(x,t)\right]+{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\left[D_{2}(x,t)f(x,t)\right].}$

在${\displaystyle N}$ 维空间中的福克-普朗克方程是

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}=-\sum _{i=1}^{N}{\frac {\partial }{\partial x_{i}}}\left[D_{i}^{1}(x_{1},\ldots ,x_{N})f\right]+\sum _{i=1}^{N}\sum _{j=1}^{N}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x_{i}\,\partial x_{j}}}\left[D_{ij}^{2}(x_{1},\ldots ,x_{N})f\right],}$ ${\displaystyle x_{i}}$ 是第${\displaystyle i}$维度的位置，此时 ${\displaystyle D^{1}}$为拖拽矢量，${\displaystyle D^{2}}$为扩散张量。

其他

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=\nabla \cdot (P\nabla V)+D\nabla ^{2}P}$

若V=0，则福克-普朗克方程成为布朗运动

${\displaystyle {\frac {\partial P}{\partial t}}=D\nabla ^{2}P}$

与随机方程的关系

福克-普朗克方程可以用来计算随机过程里随机微分方程中分布函数的解。

一个受随机力的经典粒子，经由朗之万方程可以得到福克-普朗克方程。另外再借由福克-普朗克方程也可推导薛定谔方程^[4]。