磁标势

磁标势（英语：Magnetic scalar potential）是描述磁场性质的一个有用的辅助量，尤其是在永磁体中。

提示：此条目的主题不是磁矢势。

在一个单连通、没有自由电流的区域，有

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =0,}$

这样，我们可以定义磁标势${\displaystyle \psi }$为^[1]:194-199

${\displaystyle \mathbf {H} =-\nabla \psi .}$

又因为

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =\mu _{0}\nabla \cdot (\mathbf {H+M} )=0,}$

并且

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi =-\nabla \cdot \mathbf {H} =\nabla \cdot \mathbf {M} .}$

这里，${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {M} }$充当了磁场的“源”，看起来就像是${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {P} }$在电场中的角色。因此，类比束缚电荷，我们可以将

${\displaystyle \rho _{m}=-\nabla \cdot \mathbf {M} }$

称为“束缚磁荷”（虽然到目前为止尚未发现有单独的磁荷存在）。

如有区域存在自由电流，则可以从总的磁场中减去自由电流的贡献，利用磁标势方法求得剩余量。

利用磁标势求解磁场

在静磁学里，描述在源电流四周的另外一个很有用的工具是磁标势。由于磁标势是一个标量，不是矢量，大多数时候，使用磁标势可以使得运算更加简便。但是，它只能使用在没有源电流的空间。注意到静磁学的两个基本方程为

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =\mathbf {J} }$ 、

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$ ；

其中，${\displaystyle \mathbf {H} }$ 是磁场强度（H场）。

假设电流密度 ${\displaystyle \mathbf {J} }$ 等于零，则 ${\displaystyle \nabla \times \mathbf {H} =0}$ ，H场是个保守场，必定存在一个函数 ${\displaystyle \psi _{m}}$ 满足

${\displaystyle \mathbf {H} =-\nabla \psi _{m}}$ 。

称这函数为磁标势。在真空里或各向同性、线性、均匀的介电质里，则可将上述定义式代入高斯磁定律，稍加编排，表示为拉普拉斯方程的形式：

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi _{m}=0}$。

对于任意连续场 ${\displaystyle \psi _{m}}$ ，其梯度的旋度为零。这意味着磁标势场不能存在有任何源电流。但是，实际而言，假若容许不连续线的存在于磁标势场（不连续点可以拥有两种不同的数值），应用复分析，就可以计算源电流产生的磁场。这不连续线称为割线（line of cut）。当用磁标势来解析静磁学问题时，源电流必须置放于割线。

铁磁性物质的磁标势

在铁磁性物质或永久磁铁里，B场 ${\displaystyle \mathbf {B} }$ 、磁化强度 ${\displaystyle \mathbf {M} }$ 与H场 ${\displaystyle \mathbf {H} }$ 之间的关系比较复杂：

${\displaystyle \mathbf {H} \ {\stackrel {def}{=}}\ {\frac {1}{\mu _{0}}}\mathbf {B} -\mathbf {M} }$ 。

应用高斯磁定律，

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =\mu _{0}\nabla \cdot ({\mathbf {H} +\mathbf {M} })=0}$ 。

立可得到

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi _{m}=-\nabla \cdot \mathbf {H} =\nabla \cdot \mathbf {M} }$。

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {M} }$ 可以视为磁场的源电流，就好似 ${\displaystyle \rho _{bound}=-\nabla \cdot \mathbf {P} }$ 是静电学的束缚电荷一样。这样，类比束缚电荷，可以称呼 ${\displaystyle \rho _{m}=-\nabla \cdot \mathbf {M} }$ 为“束缚磁荷”。这样，束缚磁荷的帕松方程为

${\displaystyle \nabla ^{2}\psi _{m}=-\rho _{m}}$。

这帕松方程的解答为

${\displaystyle \psi _{m}(\mathbf {r} )=\ {\frac {1}{4\pi }}\int _{\mathbb {V} '}{\frac {\rho _{m}(\mathbf {r} ')}{|\mathbf {r} -\mathbf {r} '|}}\,d^{3}\mathbf {r} '}$ 。

参考文献

1. Vanderlinde, Jack. Classical Electromagnetic Theory. 2005. ISBN 1-4020-2699-4.^{[永久失效链接]}

• Duffin, W.J. Electricity and Magnetism, Fourth Edition. McGraw-Hill. 1990.
• Feynman, Richard P; Leighton, Robert B; Sands, Matthew. The Feynman Lectures on Physics Volume 2. Addison-Wesley. 1964. ISBN 020102117XP 请检查|isbn=值 (帮助).
• Jackson, John David. Classical Electrodynamics, Third Edition. John Wiley & Sons. 1998.
• Jackson, John Davd, Classical Electrodynamics 3rd, John-Wiley, 1999, ISBN 047130932X
• Kraus, John D., Electromagnetics 3rd, McGraw-Hill, 1984, ISBN 0070354235
• Ulaby, Fawwaz. Fundamentals of Applied Electromagnetics, Fifth Edition. Pearson Prentice Hall. 2007: 226–228. ISBN 0-13-241326-4.

相关条目

• 标量势
• 磁矢势