矩阵力学

矩阵力学是量子力学其中一种的表述形式，它是由海森堡、玻恩和约尔当（P. Jordan）于1925年完成的。矩阵力学的思想出发点是针对玻尔模型中许多观点，诸如电子的轨道、频率等，都不是可以直接观察的。反之，在实验中经常接触到的是光谱线的频率、强度、偏极化，以及能级。海森堡计划创造一个理论，只是用光谱线的频率、强度、偏极化等观念。他的做法是受到爱因斯坦在相对论中对时间、空间作“操作定义”分析的影响^[1]。
一般来说，基于薛定谔方程的线性代数形式，矩阵力学会将哈密顿量表述为矩阵，能量则为特征值。物理学家也可以从分析哈密顿矩阵而提取有关能级、量子数等信息，为原子物理等特定领域提供了一种研究途径^[2]。

线性代数
${\displaystyle \mathbf {A} ={\begin{bmatrix}1&2\\3&4\end{bmatrix}}}$
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矩阵力学的基本假定

凡是矩阵力学，皆可建于以下的假定：

1. 所有的物理量，均以厄米矩阵表之。一个物理系统的哈密顿函数 ${\displaystyle \mathbf {H} \,}$ 是广义坐标矩阵 ${\displaystyle \mathbf {Q} \,}$ 及其共轭动量矩阵 ${\displaystyle \mathbf {P} \,}$ 的函数。
2. 一个物理量 ${\displaystyle \mathbf {F} \,}$ 的观察值，是该矩阵的本征值 ${\displaystyle f_{{n_{1}}{n_{2}}}\,}$ 。而能量 ${\displaystyle E_{{n_{1}}{n_{2}}}\,}$ 是哈密顿函数 ${\displaystyle \mathbf {H} \,}$ 的本征值。
3. 一个物理系统的广义坐标矩阵及其共轭动量矩阵满足以下的对易关系，亦称为强量子条件：
   ${\displaystyle \mathbf {PQ} -\mathbf {QP} ={\hbar \over i}\mathbf {I} \,}$
   ${\displaystyle \mathbf {I} \,}$ 为单位矩阵。
4. 一个物理系统（如原子）的频率 ${\displaystyle \nu _{{n_{1}}{n_{2}}}\,}$，由频率条件定之：

${\displaystyle h\nu _{{n_{1}}{n_{2}}}=E_{{n_{1}}{n_{1}}}-E_{{n_{2}}{n_{2}}}\,}$

对易关系的思想来源

${\displaystyle h\nu _{{n_{1}}{n_{2}}}=E_{{n_{1}}{n_{1}}}-E_{{n_{2}}{n_{2}}}\,}$ 这个条件是由玻尔的频率条件直接得来；但对易关系是如何引进的呢?如何得知新的力学形式是用矩阵去表达的呢? 其实海森堡的思想来源是先来自周期系统的解；周期系统的解全都可用傅里叶级数去展示：

${\displaystyle q_{n}(t)=\sum _{n=0}^{\infty }(a_{n}\cos(2\pi n\nu t)+b_{n}\sin(2\pi n\nu t))=\sum _{-\infty }^{\infty }q_{n}e^{2\pi in\nu t}}$

在此的 ${\displaystyle q_{n}={\frac {1}{2}}(a_{n}-ib_{n})\,}$, ${\displaystyle q_{-n}=q_{n}^{*}\,}$。 傅里叶级数有一个特点，就是对它进行运算，例如相加、相乘或微分，都不会产生除了${\displaystyle n\nu \,(n=1,2,\cdots )\,}$以外的新频率系列。 但原子系统的频率是不能用傅里叶级数去表示，而是有一个叫里兹组合原则的经验关系：

${\displaystyle \nu _{{n_{1}}{n_{2}}}=\nu _{{n_{1}}{n_{3}}}+\nu _{{n_{3}}{n_{2}}}\,}$

如果频率能表示为经验项之差（如氢原子的里德伯公式）：

${\displaystyle \nu _{{n_{1}}{n_{2}}}=T_{n_{1}}-T_{n_{2}}\,}$

里兹组合原则即可满足，而在这里原子系统形成一个“二维”的系统；对于频率的“二维”本性，海森堡用“二维”的广义坐标

${\displaystyle q_{{n_{1}}{n_{2}}}^{o}e^{2\pi i\nu _{{n_{1}}{n_{2}}}t}\,}$

去取代傅里叶分量 ${\displaystyle q_{n}e^{2\pi in\nu t}\,}$。而为了模拟傅里叶级数，要求“二维”数集有以下关系：

${\displaystyle q_{{n_{1}}{n_{2}}}^{o}=q_{{n_{1}}{n_{2}}}^{o*}\,}$

至于谱线 ${\displaystyle \nu _{{n_{1}}{n_{2}}}\,}$ 的幅度及偏振分别由 ${\displaystyle |q_{{n_{1}}{n_{2}}}|^{2}\,}$ 及 ${\displaystyle q_{{n_{1}}{n_{2}}}\,}$ 复数的相位去表示。从里兹组合原则及对应原理，可以知道这类“二维”数集的乘法规则是：

${\displaystyle (xx)_{{n_{1}}{n_{2}}}=\sum _{j}x_{{n_{1}}{j}}x_{{j}{n_{2}}}\,}$

以使“二维”数集的运算，都不会产生 ${\displaystyle \nu _{{n_{1}}{n_{2}}}\,}$ 以外的新频率，如

${\displaystyle (qq)_{{n_{1}}{n_{2}}}=\sum _{k}q_{{n_{1}}{k}}e^{2\pi i\nu _{{n_{1}}{k}}t}q_{{k}{n_{2}}}e^{2\pi i\nu _{{k}{n_{2}}}t}=\sum _{k}q_{{n_{1}}{k}}q_{{k}{n_{2}}}e^{2\pi i(\nu _{{n_{1}}{k}}+\nu _{{k}{n_{2}}})t}=(\sum _{k}q_{{n_{1}}{k}}q_{{k}{n_{2}}})e^{2\pi i\nu _{{n_{1}}{n_{2}}}t}\,}$

${\displaystyle ({\dot {q}})_{{n_{1}}{n_{2}}}=2\pi i\nu _{{n_{1}}{n_{2}}}q_{{n_{1}}{n_{2}}}e^{2\pi i\nu _{{n_{1}}{n_{2}}}t}\,}$

海森堡只凭这些结果，就能得到谐振子的零点能是 ${\displaystyle {\frac {1}{2}}h\nu \,}$，但计算其间要多次运用对应原理，先引入玻尔-索末菲量子条件 ${\displaystyle J=\oint p\,dq=nh\,}$，利用经典物理去估算量子物理的结果。

接着海森堡将他的结果转寄给玻恩，玻恩对于这些“二维”数集初时亦大感不解，后来他便意识到这些数集的运算与一个矩阵的运算是一模一样的，于是玻恩便与海森堡和约尔丹开展矩阵力学的建立。 首先，任何两个矩阵的乘法是不对易的：

${\displaystyle \mathbf {AB} -\mathbf {BA} \neq \mathbf {0} \,}$

所以一个物理系统的广义坐标矩阵及其共轭动量满矩阵的乘积是不对易的：

${\displaystyle \mathbf {PQ} -\mathbf {QP} \neq \mathbf {0} \,}$

那么这个乘积会等于什么呢？其实这个乘积等于什么可从玻尔-索末菲量子条件 ${\displaystyle J=\oint p\,dq=nh\,}$ 加上对应原理预示出来。 对于任何周期系统，作用量有：

${\displaystyle J=\oint p\,dq=\oint _{0}^{\frac {1}{\nu }}p{\dot {q}}\,dt\,}$

如 ${\displaystyle p,\quad q\,}$ 都使用傅里叶级数表示，就有：

${\displaystyle J=\int _{0}^{\frac {1}{\nu }}\sum _{n_{1}}p_{n_{1}}e^{2\pi i\nu t}\sum _{n_{2}}2\pi i\nu q_{n_{2}}e^{2\pi i\nu t}\,dt=2\pi i\nu \sum _{n,k}\int _{0}^{\frac {1}{\nu }}p_{n}q_{n-k}(k-n)e^{2\pi i\nu t}\,dt=-2\pi i\sum _{\tau =-\infty }^{\infty }\tau p_{\tau }q_{-\tau }\,}$

所以 ${\displaystyle 1={\frac {\partial J}{\partial J}}=-2\pi i\sum _{\tau =-\infty }^{\infty }\tau {\frac {\partial }{\partial J}}p_{\tau }q_{-\tau }\,}$。

在玻尔-索末菲的理论中，作用量被量子化：

${\displaystyle J=nh\,}$

况且 ${\displaystyle \Delta J=(\Delta n)h=\tau h,\quad \tau \equiv \Delta n\,}$。

由对应原理可知，经典理论的任何一个物理量 ${\displaystyle F\,}$ 的导数 ${\displaystyle {\frac {\partial F}{\partial J}}\,}$，在量子理论中可用 ${\displaystyle {\frac {\Delta F}{\Delta J}}={\frac {\Delta F}{\tau h}}\,}$，所以 ${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial J}}p_{\tau }q_{-\tau }\,}$ 可用 ${\displaystyle {\frac {1}{\tau h}}\Delta (p_{\tau }q_{-\tau })\,}$ 替代，在新的理论中又可用 ${\displaystyle \mathbf {P} ,\mathbf {Q} \,}$ 表达式替代，即

${\displaystyle {\frac {1}{\tau h}}\Delta (p_{\tau }q_{-\tau })\rightarrow {\frac {1}{\tau h}}\Delta (p_{n,n-\tau }q_{n-\tau ,n})=-{\frac {1}{\tau h}}(p_{n,n-\tau }q_{n-\tau ,n}-q_{n,n+\tau }p_{n+\tau ,n})\,}$

将此代入上述的 ${\displaystyle 1={\frac {\partial J}{\partial J}}=-2\pi i\sum _{\tau =-\infty }^{\infty }\tau {\frac {\partial }{\partial J}}p_{\tau }q_{-\tau }\,}$，他们就得到关系式：

${\displaystyle 1={\frac {2\pi i}{h}}\sum _{\tau }(p_{n,n-\tau }q_{n-\tau ,n}-q_{n,n+\tau }p_{n+\tau ,n})\,}$

这可用矩阵重新写成：

${\displaystyle (pq-qp)_{nn}={\frac {h}{2\pi i}}={\frac {\hbar }{i}}\,}$

他们便作以下的假定：一个物理系统的广义坐标矩阵及其共轭动量矩阵满足以下的对易关系：

${\displaystyle \mathbf {PQ} -\mathbf {QP} ={\hbar \over i}\mathbf {I} \,}$

${\displaystyle \mathbf {I} \,}$ 为单位矩阵。

注意，千万不要以为对易关系能用玻尔-索末菲量子条件“推导”出来，更不要以为它可从经典物理推导出来，总之，对易关系是一个全新的假定，只有实验才能确认它的真实性。

海森堡运动方程及量子泊松括号

根据上文的对易关系，如果有一个矩阵函数(哈密顿函数) ${\displaystyle \mathbf {H} =\mathbf {H} (\mathbf {Q} ,\mathbf {P} )\,}$，我们有以下的关系：

${\displaystyle \mathbf {HQ} -\mathbf {QH} ={\hbar \over i}{\partial \mathbf {H} \over \partial \mathbf {P} }\,}$ ${\displaystyle \mathbf {HP} -\mathbf {PH} =-{\hbar \over i}{\partial \mathbf {H} \over \partial \mathbf {Q} }\,}$

矩阵力学与波动力学等价性说明

在此，采用狄拉克矢量记号。量子力学基本方程是

${\displaystyle {\hat {H}}|\psi \rangle =E|\psi \rangle }$

薛定谔的波动力学就是（薛定谔绘景下）坐标空间表象下的上述方程，即

${\displaystyle \langle x|{\hat {H}}|x'\rangle \langle x'|\psi \rangle =E\langle x|\psi \rangle \quad \Leftrightarrow \quad \left[-{\frac {\hbar ^{2}}{2m}}\nabla ^{2}+V(\mathbf {r} )\right]\psi (\mathbf {r} )=E\psi (\mathbf {r} )}$

海森堡的矩阵力学一般说来就是能量表象下的方程，即

${\displaystyle \langle E'|{\hat {H}}|E''\rangle \langle E''|\psi \rangle =E\langle E'|\psi \rangle }$

两者只是表象不同，自然是等价的。

注释

参考资料

1. Herbert S. Green (1965). Matrix mechanics (P. Noordhoff Ltd, Groningen, Netherlands) ASIN : B0006BMIP8.
2. Fan, Castaly; Zamick, Larry. Matrix model: Emergence of a quantum number in the strong coupling regime. International Journal of Modern Physics E. 2021-07, 30 (07): 2150059. doi:10.1142/S0218301321500592.