壳层定理

壳层定理(Shell Theorem)是古典重力学上的理论，其可简化重力于对称球体内部和外部的贡献，并且在天文学上有特别的应用。 壳层定理最先由牛顿在所推演出来^[1]，其阐明了

1. 球对称物体对于球体外的重力贡献如同将球体质量集中于球心。
2. 在对称球体内部的物体不受其外部球壳的重力影响。

由壳层定理的结果亦可得知，在一质量均匀分布的球体，重力由表面至中心线性递减至零。因为球壳不会对内部物体有重力之贡献，而剩余之质量(不包括球壳)是与r³成正比，而重力是正比于m/r²，因此重力与r³/r² = r成正比。 在星体运动的分析中，壳层定理是非常重要的，因为其隐含地表示可将星体视为一个质点来计算。除了重力之外，壳层定理亦可描述均匀带电球体所贡献的电场，或者是其他平方反比定律的物理现象。

推导

球体之外的重力

一个均匀实心的球体可视为由无限多个极薄的球壳所组成，而每个球壳均视为一个质点，所以先考虑以下灰色环状区域:

Shell-diag-1

其中dθ是微分角度，非弧长。根据牛顿万有引力定律，环状区域对质点m的重力贡献为^[2]

${\displaystyle dF_{r}={\frac {Gm\,dM}{s^{2}}}\cos \phi .}$

力的方向指向球心。将所有的dF_r积分，即为质点m之所受重力

${\displaystyle F_{r}=\int dF_{r}=Gm\int {\frac {dM}{s^{2}}}\cos \phi .}$

接着，将dM表成与θ相关的函数。总球壳面积为

${\displaystyle 4\pi R^{2}}$

而灰色环状区域的面积为

${\displaystyle 2\pi R\sin \theta \cdot Rd\theta .}$

所以灰色环状区域的质量dM可表为

${\displaystyle dM={\frac {2\pi R^{2}\sin \theta }{4\pi R^{2}}}Md\theta .}$

因此

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{2}}\int {\frac {\sin \theta \cos \phi }{s^{2}}}d\theta .}$

由余弦定理可知

${\displaystyle \cos \phi ={\frac {r^{2}+s^{2}-R^{2}}{2rs}}}$

${\displaystyle \cos \theta ={\frac {r^{2}+R^{2}-s^{2}}{2rR}}.}$

θ由0积分至π，φ由0增加到最大值再递减至0，s由r - R变化至r + R。积分计算的过程如下图所示。

Shell-diag-1-anim

对前述之余弦定理给出的关系式第二式做隐微分计算可得

${\displaystyle \sin \theta d\theta ={\frac {s}{rR}}ds.}$

因此F_r可变数变换为

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{2rR}}\int {\frac {\cos \phi }{s}}ds={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int _{r-R}^{r+R}\left(1+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{2}}}\right)ds}$

所以

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\left(s-{\frac {r^{2}-R^{2}}{s}}\right)_{r-R}^{r+R}={\frac {GMm}{r^{2}}}.}$

即薄球壳贡献之重力如同将所有质量集中于球心。 接着，将每一个薄球壳dM累加起来，即是实心球体对外部物体的重力贡献

${\displaystyle F_{total}=\int dF_{r}={\frac {Gm}{r^{2}}}\int dM.}$

在距球心x到x + dx的球壳质量dM可写为

${\displaystyle dM={\frac {4\pi x^{2}dx}{{\frac {4}{3}}\pi R^{3}}}M={\frac {3Mx^{2}dx}{R^{3}}}}$

因此

${\displaystyle F_{total}={\frac {3GMm}{r^{2}R^{3}}}\int _{0}^{R}x^{2}dx={\frac {GMm}{r^{2}}}}$

即实心球对外部物体的重力贡献如同将所有质量集中于球心。

球体之内的重力

球内重力情形可直接由球外重力F_r改变s之积分上下界推得，即自R - r积分至R + r，各参数的示意图如下所示。

Shell-diag-2

所以薄球壳对内部物体的重力贡献为

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\left(s-{\frac {r^{2}-R^{2}}{s}}\right)_{R-r}^{R+r}=0.}$

即球内物体不受外球壳(无论厚薄)的重力影响。

注意，这边的计算系积分质点m外的球壳(即R > r)，当R < r，即回到球体之外的重力情况。 若质点m在实心球内，只有半径小于r的那部分球体质量对质点m有净力作用，半径大于r的那部分球壳对m产生的重力场为0。小于 r 那部分球体的质量为

${\displaystyle M_{r}={\frac {r^{3}}{R^{3}}}M.}$

距离球心r处的重力场为

${\displaystyle g={\frac {GM_{r}}{r^{2}}}={\frac {GMr}{R^{3}}}.}$

质点m受到这个实心球体产生的重力为

${\displaystyle F={\frac {GMmr}{R^{3}}}=kr.}$

k是一个常数， ${\displaystyle k={\frac {GMm}{R^{3}}}}$。

推广：假设质点重力的形式为${\displaystyle k/r^{p}}$，那么球壳内的重力为

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int _{R-r}^{R+r}\left({\frac {1}{s^{p-2}}}+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{p}}}\right)ds}$

上式只有当${\displaystyle p=2}$时，F_r才会等于0。 同样地，在球壳外的重力为

${\displaystyle F_{r}={\frac {GMm}{4r^{2}R}}\int _{r-R}^{r+R}\left({\frac {1}{s^{p-2}}}+{\frac {r^{2}-R^{2}}{s^{p}}}\right)ds}$

参考文献

1. Newton, Isaac (1687). Philosophiae Naturalis Principia Mathematica. London. pp. Theorem XXXI.
2. Raymond A. Serway and John W. Jewett (2007), Physics for Scientists and Engineers with Modern Physics.