欧拉-拉格朗日方程

欧拉-拉格朗日方程（英语：Euler-Lagrange equation）为变分法中的一条重要方程。它是一个二阶偏微分方程。它提供了求泛函的临界值（平稳值）函数，换句话说也就是求此泛函在其定义域的临界点的一个方法，与微积分差异的地方在于，泛函的定义域为函数空间而不是 ${\displaystyle \mathbb {R} ^{n}}$。

该方程由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉与意大利数学家约瑟夫·拉格朗日在1750年代提出。

第一方程

设${\displaystyle f=f(x,\ y,\ z)}$，以及${\displaystyle f_{y},\ f_{z}}$在${\displaystyle [a,\ b]\times \mathbb {R} ^{2}}$中连续，并设泛函

${\displaystyle J(y)=\int _{a}^{b}f(x,y(x),y'(x))dx}$。

若${\displaystyle y\in C^{1}[a,\ b]}$使得泛函${\displaystyle J(y)}$取得局部平稳值，则对于所有的${\displaystyle x\in (a,\ b)}$，

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial }{\partial y'}}f(x,y,y')={\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y,y')}$。

推广到多维的情况，记

${\displaystyle {\vec {y}}(x)=(y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots ,y_{n}(x))}$，

${\displaystyle {\vec {y}}'(x)=(y'_{1}(x),y'_{2}(x),\ldots ,y'_{n}(x))}$，

${\displaystyle f(x,{\vec {y}},{\vec {y}}')=f(x,y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots ,y_{n}(x),y'_{1}(x),y'_{2}(x),\ldots ,y'_{n}(x))}$。

若${\displaystyle {\vec {y}}'(x)\in (C^{1}[a,b])^{n}}$使得泛函${\displaystyle J({\vec {y}})=\int _{a}^{b}f(x,{\vec {y}},{\vec {y}}')dx}$取得局部平稳值，则在区间${\displaystyle (a,\ b)}$内对于所有的${\displaystyle i=1,\ 2,\ \ldots ,\ n}$，皆有

${\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial }{\partial y'_{i}}}f(x,{\vec {y}},{\vec {y}}')={\frac {\partial }{\partial y_{i}}}f(x,{\vec {y}},{\vec {y}}')}$。

第二方程

设${\displaystyle f=f(x,\ y,\ z)}$，及${\displaystyle f_{y},\ f_{z}}$在${\displaystyle [a,\ b]\times \mathbb {R} ^{2}}$中连续，若${\displaystyle y\in C^{1}[a,\ b]}$使得泛函${\displaystyle J(y)=\int _{a}^{b}f(x,y(x),y'(x))dx}$取得局部平稳值，则存在一常数${\displaystyle C}$，使得

${\displaystyle f(x,y,y')-y'(x)f_{y\,'}(x,y,y')=\int _{a}^{x}f_{x}(x(t),y(t),y'(t))dt+C}$。

例子

例一：两点之间最短曲线

设${\displaystyle (0,\ 0)}$及${\displaystyle (a,\ b)}$为直角坐标上的两个固定点，欲求连接两点之间的最短曲线。设${\displaystyle (x(t),\ y(t))(t\in [0,\ 1])}$，并且

${\displaystyle (x(0),\ y(0))=(0,\ 0),\ (x(1),\ y(1))=(a,\ b)}$；

这里，${\displaystyle (x(t),\ y(t))\in C^{1}[0,\ 1]}$为连接两点之间的曲线。则曲线的弧长为

${\displaystyle L(y)=\int _{0}^{1}{\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}dt}$。

现设

${\displaystyle {\vec {y}}(t)=(x(t),\ y(t))}$，

${\displaystyle f(t,\ {\vec {y}}(t),\ {\vec {y}}'(t))={\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}$，

取偏微分，则

${\displaystyle f_{x'}={\frac {x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}}$，

${\displaystyle f_{y'}={\frac {y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}}$，

${\displaystyle f_{x}=f_{y}=0}$。

若${\displaystyle y}$使得${\displaystyle L(y)}$取得局部平稳值，则${\displaystyle y}$符合第一方程：

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f_{x'}(t,y,y')=f_{x}(t,y,y')=0}$，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}f_{y'}(t,y,y')=f_{y}(t,y,y')=0}$。

因此，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {x'}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}=0}$，

${\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {y'}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}=0}$。

随${\displaystyle t}$积分，

${\displaystyle {\frac {x'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}=C_{0}}$，

${\displaystyle {\frac {y'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}=C_{1}}$；

这里，${\displaystyle C_{0},\ C_{1}}$为常数。重新编排，

${\displaystyle x'={\sqrt {\frac {C_{0}^{2}}{1-C_{0}^{2}}}}=r}$，

${\displaystyle y'={\sqrt {\frac {C_{1}^{2}}{1-C_{1}^{2}}}}=s}$。

再积分，

${\displaystyle x(t)=rt+r'}$，

${\displaystyle y(t)=st+s'}$。

代入初始条件

${\displaystyle (x(0),\ y(0))=(0,\ 0)}$，

${\displaystyle (x(1),\ y(1))=(a,\ b)}$；

即可解得${\displaystyle (x(t),\ y(t))=(at,\ bt)}$，是连接两点的一条线段。

另经过其他的分析，可知此解为唯一解，并且该解使得${\displaystyle L(y)}$取得极小值，所以在平面上连结两点间弧长最小的曲线为一直线。

例二：两点之间最短曲线的另一种求解

另一个例子同样是求定义在区间[a, b]上的实值函数y满足y(a) = c与y(b) = d，并且沿着y所定义的曲线的道路长度最短。

${\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\mathrm {d} x,}$

被积函数为

${\displaystyle L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}}$

L的偏导数为

${\displaystyle {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}}$

以及

${\displaystyle {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y}}=0.}$

把上面两式代入欧拉-拉格朗日方程，可以得到

${\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=0\\{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=C={\text{constant}}\\\Rightarrow y'(x)&={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}:=A\\\Rightarrow y(x)&=Ax+B\end{aligned}}}$

也就是说，该函数的一阶导数必须为常值，因此其图像为直线。

参阅

• 拉格朗日方程
• 变分法
• 作用量
• 哈密顿原理

参考书籍

• Troutman, John L. Variational Calculus and Optimal Control, 2nd edition, (Springer, 1995), ISBN 978-0387945118.