欧拉-拉格朗日方程（英语：Euler-Lagrange equation）为变分法中的一条重要方程。它是一个二阶偏微分方程。它提供了求泛函的临界值（平稳值）函数，换句话说也就是求此泛函在其定义域的临界点的一个方法，与微积分差异的地方在于，泛函的定义域为函数空间而不是 R n {\displaystyle \mathbb {R} ^{n}} 。 该方程由瑞士数学家莱昂哈德·欧拉与意大利数学家约瑟夫·拉格朗日在1750年代提出。 第一方程 设 f = f ( x , y , z ) {\displaystyle f=f(x,\ y,\ z)} ，以及 f y , f z {\displaystyle f_{y},\ f_{z}} 在 [ a , b ] × R 2 {\displaystyle [a,\ b]\times \mathbb {R} ^{2}} 中连续，并设泛函 J ( y ) = ∫ a b f ( x , y ( x ) , y ′ ( x ) ) d x {\displaystyle J(y)=\int _{a}^{b}f(x,y(x),y'(x))dx} 。 若 y ∈ C 1 [ a , b ] {\displaystyle y\in C^{1}[a,\ b]} 使得泛函 J ( y ) {\displaystyle J(y)} 取得局部平稳值，则对于所有的 x ∈ ( a , b ) {\displaystyle x\in (a,\ b)} ， d d x ∂ ∂ y ′ f ( x , y , y ′ ) = ∂ ∂ y f ( x , y , y ′ ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial }{\partial y'}}f(x,y,y')={\frac {\partial }{\partial y}}f(x,y,y')} 。 推广到多维的情况，记 y → ( x ) = ( y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , … , y n ( x ) ) {\displaystyle {\vec {y}}(x)=(y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots ,y_{n}(x))} ， y → ′ ( x ) = ( y 1 ′ ( x ) , y 2 ′ ( x ) , … , y n ′ ( x ) ) {\displaystyle {\vec {y}}'(x)=(y'_{1}(x),y'_{2}(x),\ldots ,y'_{n}(x))} ， f ( x , y → , y → ′ ) = f ( x , y 1 ( x ) , y 2 ( x ) , … , y n ( x ) , y 1 ′ ( x ) , y 2 ′ ( x ) , … , y n ′ ( x ) ) {\displaystyle f(x,{\vec {y}},{\vec {y}}')=f(x,y_{1}(x),y_{2}(x),\ldots ,y_{n}(x),y'_{1}(x),y'_{2}(x),\ldots ,y'_{n}(x))} 。 若 y → ′ ( x ) ∈ ( C 1 [ a , b ] ) n {\displaystyle {\vec {y}}'(x)\in (C^{1}[a,b])^{n}} 使得泛函 J ( y → ) = ∫ a b f ( x , y → , y → ′ ) d x {\displaystyle J({\vec {y}})=\int _{a}^{b}f(x,{\vec {y}},{\vec {y}}')dx} 取得局部平稳值，则在区间 ( a , b ) {\displaystyle (a,\ b)} 内对于所有的 i = 1 , 2 , … , n {\displaystyle i=1,\ 2,\ \ldots ,\ n} ，皆有 d d x ∂ ∂ y i ′ f ( x , y → , y → ′ ) = ∂ ∂ y i f ( x , y → , y → ′ ) {\displaystyle {\frac {d}{dx}}{\frac {\partial }{\partial y'_{i}}}f(x,{\vec {y}},{\vec {y}}')={\frac {\partial }{\partial y_{i}}}f(x,{\vec {y}},{\vec {y}}')} 。 第二方程 设 f = f ( x , y , z ) {\displaystyle f=f(x,\ y,\ z)} ，及 f y , f z {\displaystyle f_{y},\ f_{z}} 在 [ a , b ] × R 2 {\displaystyle [a,\ b]\times \mathbb {R} ^{2}} 中连续，若 y ∈ C 1 [ a , b ] {\displaystyle y\in C^{1}[a,\ b]} 使得泛函 J ( y ) = ∫ a b f ( x , y ( x ) , y ′ ( x ) ) d x {\displaystyle J(y)=\int _{a}^{b}f(x,y(x),y'(x))dx} 取得局部平稳值，则存在一常数 C {\displaystyle C} ，使得 f ( x , y , y ′ ) − y ′ ( x ) f y ′ ( x , y , y ′ ) = ∫ a x f x ( x ( t ) , y ( t ) , y ′ ( t ) ) d t + C {\displaystyle f(x,y,y')-y'(x)f_{y\,'}(x,y,y')=\int _{a}^{x}f_{x}(x(t),y(t),y'(t))dt+C} 。 例子 例一：两点之间最短曲线 设 ( 0 , 0 ) {\displaystyle (0,\ 0)} 及 ( a , b ) {\displaystyle (a,\ b)} 为直角坐标上的两个固定点，欲求连接两点之间的最短曲线。设 ( x ( t ) , y ( t ) ) ( t ∈ [ 0 , 1 ] ) {\displaystyle (x(t),\ y(t))(t\in [0,\ 1])} ，并且 ( x ( 0 ) , y ( 0 ) ) = ( 0 , 0 ) , ( x ( 1 ) , y ( 1 ) ) = ( a , b ) {\displaystyle (x(0),\ y(0))=(0,\ 0),\ (x(1),\ y(1))=(a,\ b)} ； 这里， ( x ( t ) , y ( t ) ) ∈ C 1 [ 0 , 1 ] {\displaystyle (x(t),\ y(t))\in C^{1}[0,\ 1]} 为连接两点之间的曲线。则曲线的弧长为 L ( y ) = ∫ 0 1 [ x ′ ( t ) ] 2 + [ y ′ ( t ) ] 2 d t {\displaystyle L(y)=\int _{0}^{1}{\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}dt} 。 现设 y → ( t ) = ( x ( t ) , y ( t ) ) {\displaystyle {\vec {y}}(t)=(x(t),\ y(t))} ， f ( t , y → ( t ) , y → ′ ( t ) ) = x ′ ( t ) 2 + y ′ ( t ) 2 {\displaystyle f(t,\ {\vec {y}}(t),\ {\vec {y}}'(t))={\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}} ， 取偏微分，则 f x ′ = x ′ ( t ) x ′ ( t ) 2 + y ′ ( t ) 2 {\displaystyle f_{x'}={\frac {x'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}} ， f y ′ = y ′ ( t ) x ′ ( t ) 2 + y ′ ( t ) 2 {\displaystyle f_{y'}={\frac {y'(t)}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}} ， f x = f y = 0 {\displaystyle f_{x}=f_{y}=0} 。 若 y {\displaystyle y} 使得 L ( y ) {\displaystyle L(y)} 取得局部平稳值，则 y {\displaystyle y} 符合第一方程： d d t f x ′ ( t , y , y ′ ) = f x ( t , y , y ′ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}f_{x'}(t,y,y')=f_{x}(t,y,y')=0} ， d d t f y ′ ( t , y , y ′ ) = f y ( t , y , y ′ ) = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}f_{y'}(t,y,y')=f_{y}(t,y,y')=0} 。 因此， d d t x ′ x ′ ( t ) 2 + y ′ ( t ) 2 = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {x'}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}=0} ， d d t y ′ x ′ ( t ) 2 + y ′ ( t ) 2 = 0 {\displaystyle {\frac {d}{dt}}{\frac {y'}{\sqrt {x'(t)^{2}+y'(t)^{2}}}}=0} 。 随 t {\displaystyle t} 积分， x ′ x ′ 2 + y ′ 2 = C 0 {\displaystyle {\frac {x'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}=C_{0}} ， y ′ x ′ 2 + y ′ 2 = C 1 {\displaystyle {\frac {y'}{\sqrt {x'^{2}+y'^{2}}}}=C_{1}} ； 这里， C 0 , C 1 {\displaystyle C_{0},\ C_{1}} 为常数。重新编排， x ′ = C 0 2 1 − C 0 2 = r {\displaystyle x'={\sqrt {\frac {C_{0}^{2}}{1-C_{0}^{2}}}}=r} ， y ′ = C 1 2 1 − C 1 2 = s {\displaystyle y'={\sqrt {\frac {C_{1}^{2}}{1-C_{1}^{2}}}}=s} 。 再积分， x ( t ) = r t + r ′ {\displaystyle x(t)=rt+r'} ， y ( t ) = s t + s ′ {\displaystyle y(t)=st+s'} 。 代入初始条件 ( x ( 0 ) , y ( 0 ) ) = ( 0 , 0 ) {\displaystyle (x(0),\ y(0))=(0,\ 0)} ， ( x ( 1 ) , y ( 1 ) ) = ( a , b ) {\displaystyle (x(1),\ y(1))=(a,\ b)} ； 即可解得 ( x ( t ) , y ( t ) ) = ( a t , b t ) {\displaystyle (x(t),\ y(t))=(at,\ bt)} ，是连接两点的一条线段。 另经过其他的分析，可知此解为唯一解，并且该解使得 L ( y ) {\displaystyle L(y)} 取得极小值，所以在平面上连结两点间弧长最小的曲线为一直线。 例二：两点之间最短曲线的另一种求解 另一个例子同样是求定义在区间[a, b]上的实值函数y满足y(a) = c与y(b) = d，并且沿着y所定义的曲线的道路长度最短。 s = ∫ a b 1 + y ′ 2 d x , {\displaystyle s=\int _{a}^{b}{\sqrt {1+y'^{2}}}\mathrm {d} x,} 被积函数为 L ( x , y , y ′ ) = 1 + y ′ 2 {\displaystyle L(x,y,y')={\sqrt {1+y'^{2}}}} L的偏导数为 ∂ L ( x , y , y ′ ) ∂ y ′ = y ′ 1 + y ′ 2 {\displaystyle {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y'}}={\frac {y'}{\sqrt {1+y'^{2}}}}} 以及 ∂ L ( x , y , y ′ ) ∂ y = 0. {\displaystyle {\frac {\partial L(x,y,y')}{\partial y}}=0.} 把上面两式代入欧拉-拉格朗日方程，可以得到 d d x y ′ ( x ) 1 + ( y ′ ( x ) ) 2 = 0 y ′ ( x ) 1 + ( y ′ ( x ) ) 2 = C = constant ⇒ y ′ ( x ) = C 1 − C 2 := A ⇒ y ( x ) = A x + B {\displaystyle {\begin{aligned}{\frac {\mathrm {d} }{\mathrm {d} x}}{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=0\\{\frac {y'(x)}{\sqrt {1+(y'(x))^{2}}}}&=C={\text{constant}}\\\Rightarrow y'(x)&={\frac {C}{\sqrt {1-C^{2}}}}:=A\\\Rightarrow y(x)&=Ax+B\end{aligned}}} 也就是说，该函数的一阶导数必须为常值，因此其图像为直线。 参阅 拉格朗日方程 变分法 作用量 哈密顿原理 参考书籍 Troutman, John L. Variational Calculus and Optimal Control, 2nd edition, (Springer, 1995), ISBN 978-0387945118. Wikiwand in your browser!Seamless Wikipedia browsing. On steroids.Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.Wikiwand for ChromeWikiwand for EdgeWikiwand for Firefox
Every time you click a link to Wikipedia, Wiktionary or Wikiquote in your browser's search results, it will show the modern Wikiwand interface.Wikiwand extension is a five stars, simple, with minimum permission required to keep your browsing private, safe and transparent.
及
为直角坐标上的两个固定点，欲求连接两点之间的最短曲线。设![{\displaystyle (x(t),\ y(t))(t\in [0,\ 1])}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6332c91bf04c21a86d96865a0d571a8dd22e0521)
，并且
；![{\displaystyle (x(t),\ y(t))\in C^{1}[0,\ 1]}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6937fc62c45d42553d398a030ffc4ec4f91f3a15)
为连接两点之间的曲线。则曲线的弧长为
![{\displaystyle L(y)=\int _{0}^{1}{\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}dt}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b4e1dbb4d4d37e176de0fd8de88dafca098bcac)
。
，
，
，
，
。
使得
取得局部平稳值，则符合第一方程：
，
。
，
。
积分，
，
；
为常数。重新编排，
，
。
，
。
，
；
，是连接两点的一条线段。
取得极小值，所以在平面上连结两点间弧长最小的曲线为一直线。
![{\displaystyle [a,\ b]\times \mathbb {R} ^{2}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/a5437a08c09f3c145de1c0526e96ea86cdac2435)
![{\displaystyle y\in C^{1}[a,\ b]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e589702295880c8ae95cd551856362662f4d26a)
![{\displaystyle {\vec {y}}'(x)\in (C^{1}[a,b])^{n}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/187ba1fa96bdafb8d54bcf41314b9854e473864c)
![{\displaystyle (x(t),\ y(t))(t\in [0,\ 1])}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6332c91bf04c21a86d96865a0d571a8dd22e0521)
![{\displaystyle (x(t),\ y(t))\in C^{1}[0,\ 1]}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/6937fc62c45d42553d398a030ffc4ec4f91f3a15)
![{\displaystyle L(y)=\int _{0}^{1}{\sqrt {[x'(t)]^{2}+[y'(t)]^{2}}}dt}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/5b4e1dbb4d4d37e176de0fd8de88dafca098bcac)
