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在代数几何及数论领域,模曲线是一类紧黎曼曲面,同时也是定义于某数域上的射影代数曲线。模曲线是当代数论、表示理论及代数几何中重要的课题。
考虑上半平面 。取 对模群 的有限指数子群之商,所得到的未必是紧致空间。作完备化后便得到模曲线。可以证明模曲线必然是 上的平滑代数曲线;从复分析角度来看,便是紧黎曼曲面。
对正整数 ,定义同余子群
相应的模曲线记为 ,也称为古典模曲线。除了完备化添加的尖点外,其复值点一一对应于下述资料的同构等价类:
当 时, 的亏格等于零,否则其亏格则是
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