在数学上,模形式(Modular form)是一种解析函数,这种函数的只接受来自复数平面内上半平面中的值,并且这种函数在一个在模型群的群运算之下,会变成某种类型的函数方程,并且通过函数计算出的值也会呈现出某个增长趋势。模形式理论属于解析数论的范畴。模形式也出现在其他领域,例如代数拓扑和弦理论。
模形式理论是更广泛的自守形式理论的特例。自守形式理论的发展大致可分成三期:
- 19世纪初:探讨与椭圆函数相关的方面。
- 19世纪末:此时单变数自守形式的概念诞生。此理论由菲利克斯·克莱因等人发展。
- 1925至1960年:由赫克发端,发现了模形式与数论的联系。
每个格都决定一条复椭圆曲线;两个格给出的椭圆曲线同构的充要条件是两个格之间差一个非零复数的倍数。因此模函数可以看作是复椭圆曲线的模空间上的函数。例如椭圆曲线的j-不变量就是模函数。模形式可视作模空间上某些线丛的截面。
每个格在乘上某个非零复数倍数后皆可表成。对一模形式,置。模形式的第二个条件可改写成函数方程:对所有且(即模群之定义),有
例如,取:
如果上述方程仅对内的某个有限指数子群成立,则称为对的模形式。最常见的例子是同余子群,以下将详述。
令为正整数,相应的模群定义为
令为正整数,权为的级(或级群为)模形式定义为一个上半平面上的全纯函数,对任何
及任何属于上半平面的,有
而且在尖点全纯。所谓尖点,是在作用下的轨道。例如当时,代表了唯一的尖点。模形式在尖点全纯,意谓时有界。当此尖点为时,这等价于有傅立叶展开式
其中。对于其它尖点,同样可藉座标变换得到傅立叶展开。
若对每个尖点都有,则称之为尖点形式(德文:Spitzenform)。使得的最小称作在该尖点的阶。以上定义的模形式有时也称为整模形式,以区分带极点的一般情形(如j-不变量)。
另一种的推广是考虑某类函数,并将函数方程改写为
上式所取的称为自守因子。若另取适当的,则在此框架下亦可探讨戴德金η函数,这是权等于1/2的模形式。例如:一个权等于、级、nebentypus为(是模的一个狄利克雷特征)是定义于上半平面,并具下述性质的全纯函数:对任意
及属于上半平面的,有函数方程
此外,必须在尖点全纯。
模形式最简单的例子是艾森斯坦级数:对每个偶数,定义
(条件用于确立收敛性)
模函数的概念还能做一些推广。
例如,可以去掉全纯条件:马斯形式是上半平面的拉普拉斯算子的特征函数,但并非全纯函数。
此外,可以考虑以外的群。希尔伯特模形式是个变元的函数,每个变元都属于上半平面。其函数方程则由分布于某个全实域的二阶方阵来定义。若以较大的辛群取代,便得到西格尔模形式。模形式与椭圆曲线相关,而西格尔模形式则涉及更广义的阿贝尔簇。
自守形式的概念可用于一般的李群。
- Jean-Pierre Serre, A Course in Arithmetic. Graduate Texts in Mathematics 7, Springer-Verlag, New York, 1973.在其第七章提供了模形式理论的浅介
- Tom M. Apostol, Modular functions and Dirichlet Series in Number Theory (1990), Springer-Verlag, New York. ISBN 0-387-97127-0
- Goro Shimura: Introduction to the arithmetic theory of automorphic functions. Princeton University Press, Princeton, N.J., 1971.提供较进阶的阐述
- Stephen Gelbart: Automorphic forms on adele groups. Annals of Mathematics Studies 83, Princeton University Press, Princeton, N.J., 1975.就表示理论观点审视模形式
- Robert A. Rankin, Modular forms and functions, (1977) Cambridge University Press, Cambridge. ISBN 0-521-21212-X
- Stein's notes on Ribet's course Modular Forms and Hecke Operators (页面存档备份,存于互联网档案馆)