标准矩

在概率论和统计学中，一个概率分布的标准矩是经过标准化后的中心矩（通常是较高阶的中心矩）。标准化通常是将其除以标准差的过程，这样做可以使得标准矩对缩放和离散程度皆能保持一致， 在比较不同概率分布的形状时更为方便。^[1]

定义

设X为一随机变量，其概率密度函数为f、平均值为 ${\textstyle \mu =\mathrm {E} [X]}$ (一阶原点矩)，则第k阶标准矩为${\displaystyle {\frac {\mu _{k}}{\sigma ^{k}}}\!}$，^[2] 其中${\displaystyle \mu _{k}}$是第k阶中心矩：

${\displaystyle \mu _{k}=\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{k}\right]=\int _{-\infty }^{+\infty }(x-\mu )^{k}f(x)\mathrm {d} x}$

${\displaystyle \sigma ^{k}}$为标准差的k次方：

${\displaystyle \sigma ^{k}={\Bigl (}{\sqrt {\mathrm {E} [(X-\mu )^{2}]}}{\Bigr )}^{k}}$

以通式表示：

${\displaystyle {\hat {\mu }}_{k}={\frac {\mu _{k}}{\sigma ^{k}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{k}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{k/2}}}}$

性质

• 中心矩为k次齐次函数：${\displaystyle \mu _{k}(\lambda X)=\lambda ^{k}\mu _{k}(X)}$
• 标准矩具有缩放不变性。
• 由于上述标准矩的定义中将矩的因次消除了，因此标准矩为无因次量。

常用的标准矩

以下列出前4个标准矩：

阶数 k	定义	说明
1	${\displaystyle {\hat {\mu }}_{1}={\frac {\mu _{1}}{\sigma ^{1}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{1}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{1/2}}}=0}$	一阶标准矩恒为0， 因为一阶中心矩恒为0。
2	${\displaystyle {\hat {\mu }}_{2}={\frac {\mu _{2}}{\sigma ^{2}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{2/2}}}=1}$	二阶标准矩恒为1， 因为二阶中心矩即为方差${\displaystyle \sigma ^{2}}$。
3	${\displaystyle {\hat {\mu }}_{3}={\frac {\mu _{3}}{\sigma ^{3}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{3}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{3/2}}}}$	三阶标准矩用于定义偏度。
4	${\displaystyle {\hat {\mu }}_{4}={\frac {\mu _{4}}{\sigma ^{4}}}={\frac {\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{4}\right]}{(\operatorname {E} \left[(X-\mu )^{2}\right])^{4/2}}}}$	四阶标准矩用于定义峰度。

参见

• 中心矩
• 矩