柯西-施瓦茨不等式

柯西-施瓦茨不等式（英语：Cauchy–Schwarz inequality），又称施瓦茨不等式或柯西-布尼亚科夫斯基-施瓦茨不等式或柯西不等式，在多个数学领域中均有应用的不等式；例如线性代数的矢量，数学分析的无穷级数和乘积的积分，和概率论的方差和协方差。它被认为是最重要的数学不等式之一。它有一些推广，如赫尔德不等式。

不等式以奥古斯丁·路易·柯西（Augustin Louis Cauchy），赫尔曼·阿曼杜斯·施瓦茨（Hermann Amandus Schwarz），和维克托·雅科夫列维奇·布尼亚科夫斯基（英语：Viktor_Bunyakovsky）（Виктор Яковлевич Буняковский）命名。

叙述

${\displaystyle V}$ 是个复内积空间，则对所有的 ${\displaystyle v,\,w\in V}$ 有：

(a) ${\displaystyle \|v\|\|w\|\geq |\langle v,\,w\rangle |}$

(b) ${\displaystyle \|v\|\|w\|=|\langle v,\,w\rangle |}$ ${\displaystyle \Leftrightarrow }$ 存在 ${\displaystyle \lambda \in \mathbb {C} }$ 使 ${\displaystyle v=\lambda \cdot w}$

证明请见内积空间#范数。

特例

Rn-n维欧几里得空间

对欧几里得空间Rⁿ，有

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}\leq \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)}$。

等式成立时：

${\displaystyle {\frac {x_{1}}{y_{1}}}={\frac {x_{2}}{y_{2}}}=\cdots ={\frac {x_{n}}{y_{n}}}.}$

也可以表示成

${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}}$

证明则须考虑一个关于${\displaystyle t}$的一个一元二次方程式 ${\displaystyle (x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}=0}$

很明显的，此方程式无实数解或有重根，故其判别式${\displaystyle D\leq 0}$

注意到

${\displaystyle (x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}\geq 0}$

⇒${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})t^{2}+2(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})t+(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq 0}$

则

${\displaystyle D=4(x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}-4(x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\leq 0}$

即

${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}}$

${\displaystyle (x_{1}t+y_{1})^{2}+\cdots +(x_{n}t+y_{n})^{2}=0}$

${\displaystyle (x_{1}^{2}+x_{2}^{2}+\cdots +x_{n}^{2})(y_{1}^{2}+y_{2}^{2}+\cdots +y_{n}^{2})\geq (x_{1}y_{1}+x_{2}y_{2}+\cdots +x_{n}y_{n})^{2}}$

而等号成立于判别式${\displaystyle D=0}$时

也就是此时方程式有重根，故

${\displaystyle {\frac {x_{1}}{y_{1}}}={\frac {x_{2}}{y_{2}}}=\cdots ={\frac {x_{n}}{y_{n}}}.}$

• 对平方可积的复值函数，有

${\displaystyle \left|\int f(x)g(x)\,dx\right|^{2}\leq \int \left|f(x)\right|^{2}\,dx\cdot \int \left|g(x)\right|^{2}\,dx}$。

这两例可更一般化为赫尔德不等式。

• 在3维空间，有一个较强结果值得注意：原不等式可以增强至拉格朗日恒等式

${\displaystyle \langle x,x\rangle \cdot \langle y,y\rangle =|\langle x,y\rangle |^{2}+|x\times y|^{2}}$。

这是

${\displaystyle \left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}y_{i}\right)^{2}=\left(\sum _{i=1}^{n}x_{i}^{2}\right)\left(\sum _{i=1}^{n}y_{i}^{2}\right)-\left(\sum _{1\leq i<j\leq n}(x_{i}y_{j}-x_{j}y_{i})^{2}\right)}$

在n=3 时的特殊情况。

L2

对于平方可积复值函数的内积空间，有如下不等式：

$${\displaystyle \left|\int _{\mathbb {R} ^{n}}f(x){\overline {g(x)}}\,dx\right|^{2}\leq \int _{\mathbb {R} ^{n}}|f(x)|^{2}\,dx\int _{\mathbb {R} ^{n}}|g(x)|^{2}\,dx.}$$

赫尔德不等式是该式的推广。

矩阵不等式

设${\displaystyle x,y}$为列向量，则${\displaystyle |x^{*}y|^{2}\leq x^{*}x\cdot y^{*}y}$^[a]

${\displaystyle x=0}$ 时不等式成立，设${\displaystyle x}$非零，${\displaystyle z=y-{\cfrac {y^{*}x}{\|x\|^{2}}}x}$，则${\displaystyle x^{*}z=0}$

${\displaystyle 0\leq \|z\|^{2}=z^{*}y=\|y\|^{2}-{\cfrac {x^{*}y}{\|x\|^{2}}}x^{*}y=\|y\|^{2}-{\cfrac {|x^{*}y|^{2}}{\|x\|^{2}}}}$

${\displaystyle |x^{*}y|^{2}\leq \|x\|^{2}\|y\|^{2}}$

等号成立${\displaystyle \Leftrightarrow z=0\Leftrightarrow y}$与${\displaystyle x}$线性相关

设${\displaystyle A}$为${\displaystyle n\times n}$Hermite阵，且${\displaystyle A\geq 0}$，则${\displaystyle |x^{*}Ay|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}Ay}$

存在${\displaystyle A^{1/2}}$，设${\displaystyle u=A^{1/2}x,v=A^{1/2}y}$

${\displaystyle |u^{*}v|^{2}\leq u^{*}u\cdot v^{*}v}$

${\displaystyle |x^{*}A^{1/2}A^{1/2}y|^{2}\leq x^{*}A^{1/2}A^{1/2}x\cdot y^{*}A^{1/2}A^{1/2}y}$

${\displaystyle |x^{*}Ay|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}Ay}$

等号成立${\displaystyle \Leftrightarrow y}$与${\displaystyle x}$线性相关

设${\displaystyle A}$为${\displaystyle n\times n}$Hermite阵，且${\displaystyle A>0}$，则${\displaystyle |x^{*}y|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}A^{-1}y}$

存在${\displaystyle A^{1/2},A^{-1/2}}$，设${\displaystyle u=A^{1/2}x,v=A^{-1/2}y}$

${\displaystyle |u^{*}v|^{2}\leq u^{*}u\cdot v^{*}v}$

${\displaystyle |x^{*}A^{1/2}A^{-1/2}y|^{2}\leq x^{*}A^{1/2}A^{1/2}x\cdot y^{*}A^{-1/2}A^{-1/2}y}$

${\displaystyle |x^{*}y|^{2}\leq x^{*}Ax\cdot y^{*}A^{-1}y}$

等号成立${\displaystyle \Leftrightarrow x}$与${\displaystyle A^{-1}y}$线性相关^[1]

若${\displaystyle \displaystyle q_{i}\geq 0,\sum _{i}q_{i}=1}$，则${\displaystyle \displaystyle (x^{*}A^{\sum _{i}a_{i}q_{i}}x)\leq \prod _{i}(x^{*}A^{a_{i}}x)^{q_{i}}}$^[2]

复变函数中的柯西不等式

设 ${\displaystyle f(z)}$在区域${\displaystyle D}$及其边界上解析，${\displaystyle a}$ 为${\displaystyle D}$内一点，以${\displaystyle a}$为圆心做圆周 ${\displaystyle C_{R}:|z-a|=R}$，只要${\displaystyle C_{R}}$及其内部${\displaystyle G}$均被${\displaystyle D}$包含，则有：

${\displaystyle \left|f^{(n)}(z_{0})\right|\leq {\frac {n!M}{R^{n}}}\qquad (n=1,2,3,...)}$

其中，M是${\displaystyle |f(z)|}$的最大值，${\displaystyle M=\max \limits _{|x-a|\in R}|f(x)|}$ 。

其它推广

${\displaystyle {\sqrt {\sum _{i=1}^{n}(\sum _{j=1}^{m}a_{ij})^{2}}}\leq \sum _{j=1}^{m}{\sqrt {\sum _{i=1}^{n}a_{ij}^{2}}}}$^[3]

${\displaystyle m\geq \alpha >0,(\sum _{i=1}^{n}\prod _{j=1}^{m}a_{ij})^{\alpha }\leq \prod _{j=1}^{m}\sum _{i=1}^{n}a_{ij}^{\alpha }}$^[4]

参见

• 三角不等式
• 内积空间

注释

1. ${\displaystyle x^{*}}$表示x的共轭转置。

参考资料

1. 王松桂. 矩阵不等式-(第二版).
2. 程伟丽 齐静. Cauchy不等式矩阵形式的推广. 郑州轻工业学院学报(自然科学版). 2008, (4) [2015-03-24]. （原始内容存档于2019-06-08）.
3. 赵明方. Cauchy不等式的推广. 四川师范大学学报(自然科学版). 1981, (2) [2015-03-24]. （原始内容存档于2019-06-03）.
4. 洪勇. 推广的Cauchy不等式的再推广. 曲靖师范学院学报. 1993, (S1) [2015-03-24]. （原始内容存档于2019-06-03）.