期望

在概率论和统计学中，一个离散性随机变量的期望（或数学期望，亦简称期望，物理学中称为期待值）是试验中每次可能的结果乘以其结果概率的总和。换句话说，期望像是随机试验在同样的机会下重复多次，所有那些可能状态平均的结果，便基本上等同“期望”所期望的数。期望可能与每一个结果都不相等。换句话说，期望是该变量输出值的加权平均。期望并不一定包含于其分布值域，也并不一定等于值域平均值。

例如，掷一枚公平的六面骰子，其每次“点数”的期望是3.5，计算如下：

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} (X)&=1\cdot {\frac {1}{6}}+2\cdot {\frac {1}{6}}+3\cdot {\frac {1}{6}}+4\cdot {\frac {1}{6}}+5\cdot {\frac {1}{6}}+6\cdot {\frac {1}{6}}\\[6pt]&={\frac {1+2+3+4+5+6}{6}}=3.5\end{aligned}}}$

不过如上所说明的，3.5虽是“点数”的期望，但却不属于可能结果中的任一个，没有可能掷出此点数。

数学定义

如果${\displaystyle X}$是在概率空间${\displaystyle (\Omega ,F,P)}$中的随机变量，那么它的期望${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$的定义是：

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{\Omega }X\,\mathrm {d} P}$

并不是每一个随机变量都有期望的，因为有的时候上述积分不存在。

如果两个随机变量的分布相同，则它们的期望也相同。

如果${\displaystyle X}$是离散的随机变量，输出值为${\displaystyle x_{1},x_{2},\ldots }$，和输出值相应的概率为${\displaystyle p_{1},p_{2},\ldots }$（概率和为1）。

若级数${\displaystyle \sum _{i}p_{i}x_{i}}$绝对收敛，那么期望${\displaystyle \operatorname {E} (X)}$是一个无限数列的和。

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\sum _{i}p_{i}x_{i}}$

如果${\displaystyle X}$是连续的随机变量，存在一个相应的概率密度函数${\displaystyle f(x)}$，若积分${\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x}$绝对收敛，那么${\displaystyle X}$的期望可以计算为：

${\displaystyle \operatorname {E} (X)=\int _{-\infty }^{\infty }xf(x)\,\mathrm {d} x}$。

是针对于连续的随机变量的，与离散随机变量的期望的算法同出一辙，由于输出值是连续的，所以把求和改成了积分。

性质

• 期望${\displaystyle E}$是线性函数。

  ${\displaystyle \operatorname {E} (aX+bY)=a\operatorname {E} (X)+b\operatorname {E} (Y)}$

  ${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$为在同一概率空间的两个随机变量（可以独立或者非独立），${\displaystyle a}$和${\displaystyle b}$为任意实数。

• 一般的说，一个随机变量的函数的期望并不等于这个随机变量的期望的函数。

  ${\displaystyle \operatorname {E} (g(X))=\int _{\Omega }g(x)f(x)\,\mathrm {d} x\neq g(\operatorname {E} (X))}$

• 在一般情况下，两个随机变量的积的期望不等于这两个随机变量的期望的积。

  当${\displaystyle \operatorname {E} (XY)=\operatorname {E} (X)\operatorname {E} (Y)}$成立时，随机变量${\displaystyle X}$和${\displaystyle Y}$的协方差为0，又称它们不相关。特别的，当两个随机变量独立时，它们协方差（若存在）为0。

期望的运用

在统计学中，估算变量的期望时，经常用到的方法是重复测量此变量的值，再用所得数据的平均值来估计此变量的期望。

在概率分布中，期望和方差或标准差是一种分布的重要特征。

在古典力学中，物体重心的算法与期望的算法十分近似。

在赌博中，期望又称预期值、长期效果值、合理价值、期待值，都能完全贴和，而其计算的方式为：

${\displaystyle \mathrm {EV} }$（期望）${\displaystyle =}$胜的概率${\displaystyle \times }$获胜的筹码${\displaystyle -}$输的概率${\displaystyle \times }$输掉的筹码

期望也可以通过方差计算公式来计算方差：

${\displaystyle \operatorname {Var} (X)=\operatorname {E} (X^{2})-\operatorname {E} (X)^{2}}$

（平方的期望减期望的平方）

其他写法

在机器学习领域的文章中，常常在期望算子的下标中指定${\displaystyle x}$服从的分布。例如：随机变量${\displaystyle x}$的函数${\displaystyle g(x)}$的期望常常写成这样：

${\displaystyle \mathbb {E} _{x\sim p(x)}[g(x)]=\int _{-\infty }^{\infty }p(x)g(x)\,\mathrm {d} x}$

${\displaystyle p(x)}$是${\displaystyle x}$的概率密度函数。

参考文献