有限几何学

在数学中，有限几何是满足某些几何学公理，但仅含有限个点的几何系统。欧氏几何并非有限，因为它必包含一条欧氏直线，其上的点一一对应于实数。

2阶有限仿射平面，包含4个点和6条线。相同颜色的线是“平行”的。

有限几何系统可以依维度分类，为简单起见，以下仅介绍低维度的情形。

有限平面

有限平面几何可以分为仿射与射影两类。在仿射空间中可以探讨线的平行性，射影空间则否。

定义. 仿射平面是一个非空集 ${\displaystyle X}$（其成员称为点）及一族 ${\displaystyle X}$ 的子集 ${\displaystyle L}$（其成员称为线），使之满足下述条件：

1. 任两点包含于唯一的一条线。
2. 平行公设：给定线 ${\displaystyle \ell }$ 及点 ${\displaystyle p\notin \ell }$，存在唯一的线 ${\displaystyle \ell '}$ 使之包含 ${\displaystyle p}$ 且 ${\displaystyle \ell \cap \ell '=\emptyset }$。
3. 存在四个点，其中任三点不共线。

最后一条公设保证几何非空，前两条公设确定了几何的性质。

最简单的仿射平面由四点构成，其中任两点决定唯一一条线，所以此平面有六条线。这可以设想为四面体的顶点与边。

一般而言，${\displaystyle n}$阶仿射平面有 ${\displaystyle n^{2}}$ 个点与 ${\displaystyle n^{2}+n}$ 条线；每条线含 ${\displaystyle n}$ 点，每点落于 ${\displaystyle n+1}$ 条线。

定义. 射影平面是一个非空集 ${\displaystyle X}$（其成员称为点）及一族 ${\displaystyle X}$ 的子集 ${\displaystyle L}$（其成员称为线），使之满足下述条件：

1. 任两点包含于唯一的一条线。
2. 任两条相异的线交于唯一一点。
3. 存在四个点，其中任三点不共线。

Fano 平面的图解

在上述公理中，我们可以交换点及线的角色，这蕴含了射影几何的对偶性：若射影几何的某命题成立，则将命题中的点与线互换后，新命题依然成立。

最简单的射影平面称作 Fano 平面，又称二阶射影平面，由七条线及七个点构成。若除去任一直线（及其上之点），将得到二阶仿射平面。

一般而言，${\displaystyle n}$ 阶射影平面的点、线个数均为 ${\displaystyle n^{2}+n+1}$，每条线含 ${\displaystyle n+1}$ 个点，每个点落于 ${\displaystyle n+1}$ 条线。

对任意正整数 ${\displaystyle n}$，${\displaystyle n}$ 阶射影或仿射平面的存在性至今未解。一般的猜想是这种几何存在当且仅当 ${\displaystyle n}$ 是素数幂。

有限几何的对称群

若一映射 ${\displaystyle f:X\to X}$ 保存共线关系，则称之为 ${\displaystyle X}$ 的对称（或自同构）。Fano 平面的对称群同构于 ${\displaystyle \mathrm {PSL} (2,\mathbb {F} _{7})}$，有 ${\displaystyle 168}$ 个元素。

外部链接

• （英文）有限几何资源 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• （英文）Chris Godsil, Finite Geometry，2004. 可自由下载。