有效数字

有效数字（significant figures^[1][2]，significant digits^[3][4]，简写 sig figs）或有效数^[5]，是能正确表达某物理量数值和精度的一个数或近似数，后者由准确数字和可疑数字组成^[6]，或是第1位不为零的数起至第1位不确定的数止，其间的所有数字^[7]。使用有效数字表示法的意义在于：测量后所记载的数量（物理量）是一组能够表示出测量误差的有意义数（字）^[8]。

有效数字是科学计算中用以表示一定长度浮点数精度的那些数字，一般指一个用小数形式表示的浮点数中，从第一个非零的数字算起的所有数字；例如：1.24和0.00124的有效数字都有3位。并且在取有效数字时一般会遵循四舍五入的进位规则^[9]。例如取1.23456789为三位有效数字后的数值将会是1.23，而取四位有效数字后的数值将会是1.235。

运算

• 加法运算，当对测量值进行加减运算时，应先完成计算，然后对答案四舍五入，看精确到小数点后的位数（以位数少的为准）；

• 减法运算，则为先调整各数的有效位数使与减数中有效位数最小者相同，再进行减法运算。^{[来源请求]}

例：3.86 m + 2.4 m = 6.3 m

• 乘除运算，应先对测量值进行计算后，把答案四舍五入到和测量值的最小精度值相同的有效数字位数；^[10]

例：409.2 km / 11.4 L = 35.9 km/L

• 取对数（不管是常用对数还是自然对数，即不管对数的底数为何），按照有效数字的个数来确定小数点后的位数（位数等于个数）；

• 取指数，按照小数点后的位数来确定有效数字的个数（个数等于位数）；

• 科学常数和整数可以取任意位有效数字。

近似值

令${\displaystyle x}$是某个数量的真值，${\displaystyle {\tilde {x}}}$是${\displaystyle x}$的近似值；${\displaystyle x}$与${\displaystyle {\tilde {x}}}$都用十进制表示。有效数字就是指${\displaystyle x}$与${\displaystyle {\tilde {x}}}$的多少位数字是一致的。确切地说，${\displaystyle {\tilde {x}}}$有${\displaystyle x}$的m位有效数字，则从${\displaystyle x}$的左端非零数字所在位起，绝对误差|${\displaystyle {\tilde {x}}-x}$|的前m个十进制数位为0，随后一位数字取值从0到5. 例如：

• 5.1对真值5具有1位有效数字：|5.1-5|=0.1
• 0.51对真值0.5具有1位，而不是2位有效数字：|0.51-0.5|=0.01
• 4.995对真值5具有3位有效数字:|4.995-5|=0.005
• 4.994对真值5具有2位有效数字:|4.994-5|=0.006
• 1.4对真值2具有0位有效数字：|1.4-2|=0.6

如果${\displaystyle x}$用科学记数法表示为 ${\displaystyle x=\Box .\Box \Box \ldots \Box \times 10^{n}}$， 则${\displaystyle {\tilde {x}}}$有${\displaystyle x}$的m位有效数字，如果${\displaystyle |x-{\tilde {x}}|\leq 5\times 10^{n-m}}$。 ${\displaystyle {\tilde {x}}}$有${\displaystyle x}$的m位有效数字，则二者相对误差不超过${\displaystyle 5\times 10^{-m}}$。