有效数字

有效数字（significant figures，significant digits，简写 sig figs），其代表一个数是由若干位数字组成，其中影响其测量精度的数字被称作有效数字，也称有效数位^[1]。

有效数字是科学计算中用以表示一定长度浮点数精度的那些数字，一般指一个用小数形式表示的浮点数中，从第一个非零的数字算起的所有数字；例如：1.24和0.00124的有效数字都有3位。并且在取有效数字时一般会遵循四舍五入的进位规则^[2]。例如取1.23456789为三位有效数字后的数值将会是1.23，而取四位有效数字后的数值将会是1.235。

辨别有效数字

简单的规则如下：

• 所有非零数字都是有效的；
• 非零数字间的零都是有效的；
• 前缀零始终无效；
• 对于需要小数点的数，后缀零（最后一个非零数字后的零）是有效的；
• 对于不需要小数点的数，后缀零可能有效也可能无效。需要根据额外的符号或者误差讯息决定。

所有非零数字都有效。例如 91 有两位有效数字（9 和 1），而 123.45 有五位有效数字（1、2、3、4、5）。

两个非零数字之间的零都有效。例如 101.1203 有七位有效数字（1、0、1、1、2、0、3）。

开头的零始终无效。例如 0.00052 只有两位有效数字（5 和 2）。

包含小数点的数中，结尾的零是有效的。例如 12.2300 有六位有效数字（1、2、2、3、0、0），而 0.000122300 也只有六位有效数字（1 前面的 0 都无效），120.00 则有五位。这一规则是因为小数里结尾的零可以明确精度。例如在精确到小数点后四位（0.0001）进行度量时，如果仅给出 12.23 的结果，可能会被误解为测量时只精确到小数点后两位，而给出 12.2300 的结果，则可以明确有小数点后四位的精度（例子中的结果有六位有效数字）。

针对不包含小数点的数，结尾的零是否是有效数字可以有不同的理解。例如仅给出 1300，我们无法得知它是精确到了最小单位（只是恰巧是 100 的倍数），还是在百位或者十位做了舍入。有很多做法可以消除歧义：

• 在最后一个有效数字上划线。被标记的数字之后，所有结尾的零都不是有效数字。例如 ${\displaystyle 13{\overline {0}}0}$ 表示有三位有效数字，精确到十位；
• 类似的也有加下划线的做法，比如 ${\displaystyle 2{\underline {0}}00}$ 表示有两位有效数字，精确到百位；
• 如果在数字后面加上小数点，可以表示精确到个位。例如 100. 就有三位有效数字；
• 数字与计量单位结合时，可以通过选择不同的前缀避免歧义。例如表示质量时，1300克的精度是有歧义的，而换成1.3千克则无歧义，有两位有效数字。

不过很多时候人们并不使用这些消歧义的做法，后缀的零是否属于有效数字只能从上下文分辨。需要时也可以直接标明有效数字位数，比如可以写“20000（两位有效数字）”。

科学记数法

大多数情况下，使用科学记数法的数也可以使用上述规则判别有效数字。不过正规化形式的科学记数法没有前缀和后缀的零，所有数字都是有效的。比如 0.00012（两位有效数字）会被记作 ${\displaystyle 1.2\times 10^{-4}}$，0.00122300（六位有效数字）会被记作 ${\displaystyle 1.22300\times 10^{-3}}$。后缀零都是有效的，没有歧义。例如 1300 在有四位有效数字时，会被记作 ${\displaystyle 1.300\times 10^{3}}$，而如果只有两位有效数字，则会被记作 ${\displaystyle 1.3\times 10^{3}}$。

因此，科学记数法中，尾数也被称作有效数。

修约与位数

有效数字的概念通常和修约一起使用。按照有效数字的位数修约比按照数字本身的位数修约通用，因为对于不同尺度的数字可以有相同的处理。例如，城市的人口数可以是精确到千位的 52000，而国家的人口数则会是精确到百万的 52000000。前者可以有几百的误差，后者则可以有几十万的误差，而它们都只有两位有效数字（5 和 2）。也就是说，即便两者在数量级上相差巨大，但两者误差的有效性相同（误差与数据本身的比）。

可以用“保留 n 位有效数字”来描述按照有效数字的修约，做法如下： ^[3][4]

• 首先找出从第一个非零数字开始的 n 个连续的数字，认为只有这些数字才是有效数字。
• 如果最后一个有效数字后面紧跟的数字大于 5，或者紧跟着 5 但后面还有其它非零数字，那么将最后一个有效数字加 1。例如 1.2459 保留三位有效数字后为 1.25。
• 如果最后一个有效数字后面紧跟着数字 5，而且后面没有其它数字或者都是 0，修约时需要采用某种特定的规则。例如 1.25 保留两位有效数字：
  • 中值取高斯再加一（即“四舍五入”）后结果是 1.3。如果没有特别说明，很多时候都使用这种方法。
  • 中值取最靠近的偶数（即“四舍六入五成双”）后的结果是 1.2。
• 将小数点前的所有非有效数字替换为 0。
• 将小数点后的所有非有效数字删除（不能替换为 0）。

运算

• 加法运算，当对测量值进行加减运算时，应先完成计算，然后对答案四舍五入，看精确到小数点后的位数（以位数少的为准）；

• 减法运算，则为先调整各数的有效位数使与减数中有效位数最小者相同，再进行减法运算。

例：3.86 m + 2.4 m = 6.3 m

• 乘除运算，应先对测量值进行计算后，把答案四舍五入到和测量值的最小精度值相同的有效数字位数；^[5]

例：409.2 km / 11.4 L = 35.9 km/L

• 取对数（不管是常用对数还是自然对数，即不管对数的底数为何），按照有效数字的个数来确定小数点后的位数（位数等于个数）；

• 取指数，按照小数点后的位数来确定有效数字的个数（个数等于位数）；

• 科学常数和整数可以取任意位有效数字。

近似值

令${\displaystyle x}$是某个数量的真值，${\displaystyle {\tilde {x}}}$是${\displaystyle x}$的近似值；${\displaystyle x}$与${\displaystyle {\tilde {x}}}$都用十进制表示。有效数字就是指${\displaystyle x}$与${\displaystyle {\tilde {x}}}$的多少位数字是一致的。确切地说，${\displaystyle {\tilde {x}}}$有${\displaystyle x}$的m位有效数字，则从${\displaystyle x}$的左端非零数字所在位起，绝对误差|${\displaystyle {\tilde {x}}-x}$|的前m个十进制数位为0，随后一位数字取值从0到5. 例如：

• 5.1对真值5具有1位有效数字：|5.1-5|=0.1
• 0.51对真值0.5具有1位，而不是2位有效数字：|0.51-0.5|=0.01
• 4.995对真值5具有3位有效数字:|4.995-5|=0.005
• 4.994对真值5具有2位有效数字:|4.994-5|=0.006
• 1.4对真值2具有0位有效数字：|1.4-2|=0.6

如果${\displaystyle x}$用科学记数法表示为 ${\displaystyle x=\Box .\Box \Box \ldots \Box \times 10^{n}}$， 则${\displaystyle {\tilde {x}}}$有${\displaystyle x}$的m位有效数字，如果${\displaystyle |x-{\tilde {x}}|\leq 5\times 10^{n-m}}$。 ${\displaystyle {\tilde {x}}}$有${\displaystyle x}$的m位有效数字，则二者相对误差不超过${\displaystyle 5\times 10^{-m}}$。

参考文献

1. significant figure - 有效數字. 国家教育研究院双语词汇、学术名词暨辞书信息网. [2018-06-27]. （原始内容存档于2021-03-04）.
2. 中原大學物理系 陳韋達 李偉 - 論乘除運算中有效數字之處理規則 (PDF). 论乘除运算中有效数字之处理规则.
3. Engelbrecht, Nancy; et al. Rounding Decimal Numbers to a Designated Precision (PDF). Washington, D.C.: U.S. Department of Education. 1990. 引文格式1维护：显式使用等标签 (link)
4. Numerical Mathematics and Computing, by Cheney and Kincaid （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
5. Paul W. Zitzewitz,etc.(2005),"PHYSICS principles and Problems",McGraw-Hill Education Glencoe.

外部链接

• Significant Figures Calculator （页面存档备份，存于互联网档案馆） （英文）
• 有效数字的概念介绍 （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• 有效数字