有向集合

在数学中，有向集合（也叫有向预序或过滤集合），是一个具有预序关系（自反及传递之二元关系 ≤）的非空集合 A，而且每一对元素都会有个上界^[1]，亦即对于 A 中任意两个元素 a 和 b，存在着 A 中的一个元素 c（不必然不同于 a,b），使得 a ≤ c 和 b ≤ c（有向性）。

有向集合是非空全序集合的广义化，亦即所有的全序集合都会是有向集合（偏序集合则不一定是有向的，因极大元原故）。在拓扑学里，有向集合被用来定义网，一种广义化序列且统合用于数学分析中各式极限的概念。有向集合亦在抽象代数及（更一般的）范畴论中被用来产生有向极限这类的概念。

应用

有向集合是非空全序集合的一般化。在拓扑中它们用来定义一般化序列的网，并联合在数学分析中用到的各种极限的概念。

例子

有向集合的例子有：

• 带有普通次序 ≤ 的自然数的集合 N 是一个有向集合（也是全序集合）。
• 如果 x₀ 是实数，我们可以把 R - {x₀} 集合变成有向集合，通过写 a ≤ b 当且仅当 |a - x₀| ≥ |b - x₀|。我们说实数已经被导向了 x₀。这不是偏序。
• 如果 T 是一个拓扑空间而 x₀ 是 T 中的一个点，我们可以把 x₀ 的所有邻域的集合变成有向集合，通过写 U ≤ V 当且仅当 U 包含 V。
  • 对于所有 U: U ≤ U；因为 U 包含自身。
  • 对于所有 U,V,W：如果 U ≤ V 而 V ≤ W，则 U ≤ W；因为如果 U 包含 V 而 V 包含 W 则 U 包含 W。
  • 对于所有 U, V：存在着集合 U ${\displaystyle \cap }$V 使得 U ≤ U ${\displaystyle \cap }$V 并且 V ≤ U ${\displaystyle \cap }$V；因为 U 和 V 二者都包含 U ${\displaystyle \cap }$V。
• 在偏序集合 P 中，所有形如 {a| a${\displaystyle \in }$P, a ≤x} 的子集都是有向的，这里 x 是 P 的一个固定的元素。

对比于半格

有向集合是比（并）半格更弱的（更一般的）概念：所有并半格都是有向集合，两个元素的并就是想要的 c。

但是有向集合不要求极小性：可以有很多其他这样的 c。

有向子集

有向集合不需要是反对称的，并且一般不是偏序的。但是这个术语也经常用在偏序集合的上下文中。在这种情况下，偏序集合（P，≤）的子集 A 叫做有向子集，当且仅当

• A 不是空集，
• 对于 A 中任何两个 a 和 b，存在 A 中的一个 c 有着 a ≤ c 和 b ≤ c（有向性），

这里 A 的元素的次序继承自 P。为此，自反性和传递性不需要明确的要求。

有向子集最常用于域理论，这里研究要求有最小上界的那些集合。所以，有向子集提供在偏序情况下一般化的（收敛）序列。

参见

• 等价关系
• 滤子 (数学)
• 理想 (数学)
• 半格
• 滤通范畴

参考资料

1. Kelley, p. 65.