换位子群

在抽象代数中，一个群的换位子群或导群，是指由这个群的所有交换子所生成的子群，记作[G,G]、G′或G⁽¹⁾ 。每个群都对应着一个确定的交换子群。在一个群G的所有正规子群中，交换子群G′是使得G对它的商群为交换群的最小子群。在某种意义上，交换子群提供了群G的可交换程度。因为从交换子的定义：${\displaystyle [x,y]=xyx^{-1}y^{-1}}$，如果x与y交换，那么${\displaystyle [x,y]=e}$。一个群内可交换的元素越多，交换子就越少，交换子群也就越小。可交换群的交换子群为平凡群${\displaystyle \{e\}}$。

定义

给定一个群G，G的交换子群或导群： [G,G]、G′或G⁽¹⁾ 是G的所有交换子所生成的子群：

${\displaystyle [G,G]=\langle g^{-1}h^{-1}gh\,|\,g,h\in G\rangle .}$

类似地可以定义高阶的导群。

${\displaystyle G^{(0)}=G}$

${\displaystyle G^{(n)}=[G^{(n-1)},G^{(n-1)}]\quad n\in \mathbf {N} }$

可以证明，如果存在自然数 n 使得 ${\displaystyle G^{(n)}={e}}$ ，那么G是可解群。

商群${\displaystyle G/[G,G]}$是一个阿贝尔群，叫做G的阿贝尔化子群，通常记作G^ab。G的阿贝尔化子群就是G的一阶同调群。

${\displaystyle [G,G]=G}$的群叫做完美群，这是与阿贝尔群相对的概念。完美群的阿贝尔化子群是单位群{e}。

性质

1. ${\displaystyle G^{\prime }}$是${\displaystyle G}$的正规子群。
2. G对于自同构稳定：${\displaystyle \forall \phi \in Aut(G),\phi (G^{\prime })=G^{\prime }}$。
3. 如果H是G的子群，那么${\displaystyle H^{\prime }\subseteq G^{\prime }}$。
4. ${\displaystyle \pi :G_{1}\to G_{2}}$是一个满同态，那么${\displaystyle \pi (G_{1}^{\prime })=G_{2}^{\prime }}$。
5. 如果H是G的正规子群，那么${\displaystyle G/H}$是交换群，当且仅当${\displaystyle G^{\prime }\subseteq H}$。

   证明：${\displaystyle \pi _{H}:G\to G/H:a\mapsto Ha}$是一个满同态，

   所以，${\displaystyle G/H}$是交换群

   ${\displaystyle \quad \Leftrightarrow \left\{e\right\}=(G/H)^{\prime }=\pi _{H}(G^{\prime })}$

   ${\displaystyle \Leftrightarrow G^{\prime }\subseteq He=H}$

6. ${\displaystyle G^{\prime }\subseteq G^{\prime }}$，所以${\displaystyle G^{ab}=G/G^{\prime }}$ 可交换。

交换子群的例子

• 4次交替群${\displaystyle A_{4}}$的交换子群是克莱因四元群${\displaystyle V_{4}}$。
• n次对称群${\displaystyle S_{n}}$的交换子群是n次交替群${\displaystyle A_{n}}$。
• 四元群Q = {1, −1, i, −i, j, −j, k, −k} 的交换子群是 {1, −1}。

参见

• 群
• 交换子
• 正规子群
• 可解群
• 伽罗瓦理论