抛物柱面坐标系

抛物柱面坐标系（英语：Parabolic cylindrical coordinates）是一种三维正交坐标系。往 z-轴方向延伸二维的抛物线坐标系 ，则可得到抛物柱面坐标系。其坐标曲面是共焦的抛物柱面。抛物柱面坐标可以应用于许多物理问题。例如，物体边缘的位势论。

抛物柱面坐标系的几个坐标曲面。红色抛物柱面的 ${\displaystyle \sigma =2}$ 。黄色抛物柱面的 ${\displaystyle \tau =1}$ 。蓝色薄面的 ${\displaystyle z=2}$ 。z-轴是垂直的，以白色表示。 x-轴以绿色表示。三个曲面相交于点 P （显示为黑色的圆球），直角坐标大约为 ${\displaystyle (2,\ -1.5,\ 2)}$ 。

抛物线坐标系的 ${\displaystyle \sigma }$ 和 ${\displaystyle \tau }$ 的等值曲线。横轴与纵轴分别为 x-轴与 y-轴。抛物线坐标系可以往 z-轴延伸。对于任意 z-坐标，这曲线图都正确无误。

基本定义

直角坐标 ${\displaystyle (x,\ y,\ z)}$ 可以用抛物柱面坐标 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}$ 表示为

${\displaystyle x=\sigma \tau }$ 、

${\displaystyle y={\frac {1}{2}}\left(\tau ^{2}-\sigma ^{2}\right)}$ 、

${\displaystyle z=z}$ ；

其中，${\displaystyle \sigma \geq 0}$ ，${\displaystyle \tau \geq 0}$ 。

坐标 ${\displaystyle \sigma }$ 为常数的曲线形成共焦的，凹性往 +y-轴的抛物柱面：

${\displaystyle 2y={\frac {x^{2}}{\sigma ^{2}}}-\sigma ^{2}}$ ，

而坐标 ${\displaystyle \tau }$ 为常数的曲线形成共焦的，凹性往 -y-轴的抛物柱面：

${\displaystyle 2y=-{\frac {x^{2}}{\tau ^{2}}}+\tau ^{2}}$ 。

这些抛物柱面的焦线的位置都在 z-轴。

径向距 ${\displaystyle r}$ 的公式为

${\displaystyle r={\sqrt {x^{2}+y^{2}}}={\frac {1}{2}}\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)}$。

当解析经典力学的反平方连心力问题时，假若采用抛物柱面坐标的哈密顿-亚可比方程式，则会用到这很有用的公式。参阅 拉普拉斯-龙格-冷次向量^{[锚点失效]}。

标度因子

抛物柱面坐标 ${\displaystyle \sigma }$ 与 ${\displaystyle \tau }$ 的标度因子相等；而 ${\displaystyle z}$ 的标度因子是 1 ：

${\displaystyle h_{\sigma }=h_{\tau }={\sqrt {\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}}$ 、

${\displaystyle h_{z}=1}$ 。

无穷小体积元素是

${\displaystyle dV=\left(\sigma ^{2}+\tau ^{2}\right)d\sigma d\tau dz}$ 。

拉普拉斯算子是

${\displaystyle \nabla ^{2}\Phi ={\frac {1}{\sigma ^{2}+\tau ^{2}}}\left({\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \sigma ^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial \tau ^{2}}}\right)+{\frac {\partial ^{2}\Phi }{\partial z^{2}}}}$。

其它微分算子，像 ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {F} }$ 、${\displaystyle \nabla \times \mathbf {F} }$ ，都可以用 ${\displaystyle (\sigma ,\ \tau ,\ z)}$ 坐标表示，只要将标度因子代入在正交坐标系条目内对应的一般公式。

应用

抛物柱面坐标有一个经典的应用，这是在解析像拉普拉斯方程或亥姆霍兹方程这类的偏微分方程式。在这些方程式里，抛物柱面坐标允许分离变数法的使用。个典型的例题是，有一块半无限的平板导体，请问其周围的电场为什么？应用抛物柱面坐标，我们可以精致地分析这例题。

参阅

参考文献

• Philip M. Morse, Herman Feshbach. Methods of Theoretical Physics, Part I. New York: McGraw-Hill. 1953: p. 658. ISBN 0-07-043316-X. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Henry Margenau, Murphy GM. The Mathematics of Physics and Chemistry. New York: D. van Nostrand. 1956: pp. 186–187. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Korn GA, Korn TM. Mathematical Handbook for Scientists and Engineers. New York: McGraw-Hill. 1961: p. 181. ASIN B0000CKZX7. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Sauer R, Szabó I. Mathematische Hilfsmittel des Ingenieurs. New York: Springer Verlag. 1967: p. 96. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

• Zwillinger D. Handbook of Integration. Boston, MA: Jones and Bartlett. 1992: p. 114. ISBN 0-86720-293-9. 引文格式1维护：冗余文本 (link) Same as Morse & Feshbach (1953), substituting u_k for ξ_k。

• Moon P, Spencer DE. Parabolic-Cylinder Coordinates (μ, ν, z). Field Theory Handbook, Including Coordinate Systems, Differential Equations, and Their Solutions corrected 2nd ed., 3rd print ed. New York: Springer-Verlag. 1988: pp. 21–24 (Table 1.04). ISBN 978-0387184302. 引文格式1维护：冗余文本 (link)

外部链接

• 数学世界的抛物柱面坐标系页面 （页面存档备份，存于互联网档案馆）