拉回

拉回（pullback）是数学中一个基本概念，涉及到两个不同但关联的程序：预复合与纤维积。与之对偶的概念是前推。

预复合

和一个函数的预复合也许提供了拉回最基本的概念：简单地说，设 f 是一个变量 y 的函数，这里 y 自身又是另一个变量 x 的函数，那么 f 可以写成 x 的函数，这即 f 被函数 y(x) 拉回。

${\displaystyle f(y(x))\equiv g(x)}$

这样一个基本程序，经常不经意地出现，比如在初等微积分中：有时也称为“忽略拉回”，从流体力学到微分几何中随处可见。

但是，不仅只有函数可以在这种意义下“拉回”。拉回可以应用到许多其他对象中去，比如微分形式和它们的上同调类

参见：

• 拉回 (微分几何)
• 拉回 (上同调)

纤维积

拉回作为纤维积的概念最终导致了非常广泛的范畴的拉回，但有一些重要的特例：代数几何中的逆像（和拉回）层，以及代数拓扑和微分几何中的拉回丛。

参见：

• 拉回 (范畴论)
• 逆像层
• 拉回丛
• 纤维范畴

关系

两种拉回的概念的关系可能最好是用纤维丛的截面来解释：如果 s 是 N 上纤维丛 E 的一个截面，f 是一个从 M 到 N 的映射，那么 s 的由 f 拉回（预复合）${\displaystyle f^{*}s=s\circ f}$ 是 M 上的拉回丛（纤维积） f^*E 的一个截面。