射影定理

此条目介绍的是有关直角三角形的几何定理。关于存在无限多个质数的数论定理，请见“欧几里得定理”。

射影定理（台湾称“母子相似定理”)（英语：Geometric Mean Theorem），又称欧几里得定理（英语：Euclid's theorem），是平面几何中的一个定理。这个定理指出，在一个直角三角形中，一条直角边的平方，相等于三角形的斜边乘以该直角边在斜边上的正投影。^[1]这个定理出现在欧几里得所著《几何原本》第一卷当中，是第 47 个命题毕氏定理证明过程的一部分。^[2]

定理内容

在 ΔABC 中，∠C = 90°，以及 CD ⊥ AB。AD 及 BD 分别是 AC 及 BC 在底边 AB 的正投影。

在 ΔABC 中，∠C = 90°。设 CD 在 AB 的上的高，则有：

${\displaystyle {AC}^{2}=AD\cdot AB}$

${\displaystyle {BC}^{2}=BD\cdot AB}$

${\displaystyle {CD}^{2}=AD\cdot BD}$

在这里，AD 及 BD 分别是 AC 及 BC 在底边 AB 的正投影，故定理以此为名。

证明

注意到 ΔABC 与 ΔACD 是相似三角形。因此可得

${\displaystyle {\frac {AB}{AC}}={\frac {AC}{AD}}}$

整理可得

${\displaystyle {AC}^{2}=AD\cdot AB}$

同理，考虑相似三角形 ΔABC 与 ΔCBD，可得

${\displaystyle {\frac {AB}{BC}}={\frac {BC}{BD}}}$

整理可得

${\displaystyle {BC}^{2}=BD\cdot AB}$

证明完毕。

相关定理

直角三角形面积

在上面的 ΔABC 中，我们有：

${\displaystyle AB\cdot CD=AC\cdot BC}$

考虑三角形的面积，即可容易地证明。

勾股定理

勾股定理，是欧几里得所著《几何原本》第一卷当中的第 47 个命题。^[2]这个定理指出：

${\displaystyle {AB}^{2}={AC}^{2}+{BC}^{2}}$

勾股定理与射影定理有密切关系。事实上，在《几何原本》中，射影定理正是该证明过程的一部分。从射影定理可知：

${\displaystyle {AC}^{2}=AD\cdot AB}$

${\displaystyle {BC}^{2}=BD\cdot AB}$

将两条等式相加，则可得：

${\displaystyle {AC}^{2}+{BC}^{2}=AD\cdot AB+BD\cdot AB}$

由于 AD + BD = AB，因此可得：

${\displaystyle {AB}^{2}={AC}^{2}+{BC}^{2}}$

证明完毕。

几何平均定理

几何平均定理（英语：Geometric mean theorem），是在《几何原本》第六卷中的第 8 个命题。^[3]这个定理指出：

${\displaystyle {CD}^{2}=AD\cdot BD}$

也就是说，CD 是 AD 和 BD 的几何平均。

与射影定理一样，几何平均定理可从相似三角形得证。

一般三角形的情况

边长 a 及 b 在底边 c 的正投影，分别是 a cos β 及 b cos α。

对于 ∠C ≠ 90° 的情况，三角形边长的正投影可用余弦求得：

${\displaystyle AD=AC\cos \angle A}$

${\displaystyle BD=BC\cos \angle B}$

以上结果从余弦的定义直接可得。

把上面两式相加，即可得：

${\displaystyle AB=AC\cos \angle A+BC\cos \angle B}$

以上公式，又被称为“第一余弦定理”。^[4]然而，一般“余弦定理”所指的，是另一条定理（“第二余弦定理”），详见余弦定理。

三维空间上的推广

三直角四面体

一个四面体。若构成顶点的三个面角皆为直角，则这是一个三直角四面体。

射影定理在三维空间上，也有相应的推广。设三直角四面体（英语：Trirectangular tetrahedron） ABCD 中，∠ADB = ∠ADC = ∠BDC = 90°。又设 D 在斜面 ΔABC 的正投影为 E。我们则有：

${\displaystyle [\triangle ADB]^{2}=[\triangle AEB]\cdot [\triangle ABC]}$

${\displaystyle [\triangle ADC]^{2}=[\triangle AEC]\cdot [\triangle ABC]}$

${\displaystyle [\triangle BDC]^{2}=[\triangle BEC]\cdot [\triangle ABC]}$

其中 [ΔABC] 表示 ΔABC 的面积。

把以上三条等式相加，则可得德古阿定理：

${\displaystyle [\triangle ABC]^{2}=[\triangle ADB]^{2}+[\triangle ADC]^{2}+[\triangle BDC]^{2}}$

德古阿定理可以视为毕氏定理在三维空间上的其中一种推广。^[5]

一般四面体

在四面体 ABCD 中，设 ΔABC 为底面。又设 D 在 ΔABC 的正投影为 E。我们则有：

${\displaystyle AE=AD\cos \alpha }$

${\displaystyle BE=BD\cos \beta }$

${\displaystyle CE=CD\cos \gamma }$

其中 α 、β 及 γ 分别是 AD 、BD 及 CD 与底面 ΔABC 的夹角。

另外亦有：

${\displaystyle [\triangle ABE]=[\triangle ABD]\cos \theta }$

${\displaystyle [\triangle ACE]=[\triangle ACD]\cos \phi }$

${\displaystyle [\triangle BCE]=[\triangle BCD]\cos \psi }$

其中 θ 、ϕ 及 ψ 分别是 ΔABD 、ΔACD 及 ΔBCD 与底面 ΔABC 的夹角。

将上面三条等式相加，可得：

${\displaystyle [\triangle ABC]=[\triangle ABD]\cos \theta +[\triangle ACD]\cos \phi +[\triangle BCD]\cos \psi }$

是上面提到“第一余弦定理”的三维推广。

任意图形的投影

更进一步地说，面积为 S 的任意平面图形，在底面的正投影的面积 S_proj，都可用余弦求得：

${\displaystyle S_{\mathrm {proj} }=S\cos \theta }$

其中 θ 是该平面图形与底面的夹角。

参考资料

1. 曹才翰 主编; 沈复兴, 孙瑞清, 余炯沛等 副编. 《中國中學教學百科全書 • 數學卷》. 沈阳出版社. 1991. ISBN 9787805564241. 引文使用过时参数coauthors (帮助)
2. Euclid. Proposition 47, Element, Book I. c 300 BC [2020-02-15]. （原始内容存档于2021-02-24）. 请检查|date=中的日期值 (帮助) 引用错误：带有name属性“Euclid_I47”的<ref>标签用不同内容定义了多次
3. Euclid. Proposition 8, Element, Book VI. c 300 BC [2020-02-15]. （原始内容存档于2020-02-03）. 请检查|date=中的日期值 (帮助)
4. 中原晴彦. エジプト人のための三角比入門 (PDF). 顺天サイエンスライブラリー. 2003 [2020-02-15]. （原始内容存档 (PDF)于2020-02-15）.
5. Sergio A. Alvarez. Note on an n-dimensional Pythagorean theorem (PDF). Center for Nonlinear Analysis and Department of Mathematical Sciences, Carnegie Mellon University. [2020-02-15]. （原始内容存档 (PDF)于2012-10-02）.

参见

• 正投影
• 直角三角形
• 三直角四面体（英语：Trirectangular tetrahedron）
• 毕氏定理
• 几何平均定理（英语：Geometric mean theorem）
• 德古阿定理