手征对称性

在量子场论里，手征对称性（chiral symmetry）是物理系统的拉格朗日量可能具有的一种对称性。具有手征对称性的物理系统，其狄拉克场的左手部分与右手部分可以独立变换。这样，拉格日量的各个项目可以被分为矢量部分和轴矢量部分。矢量部分对于左手部分与右手部分同等处理；轴矢量部分对于左手部分与右手部分不同等处理。^[1]

提示：此条目的主题不是手征性。

手征性的概念不仅出现在量子场论，在超弦理论里也有所用途，例如：IIA型弦中狄拉克场的右手模不具手征对称性，导致理论不能满足现实模型的基本条件。^{[来源请求]}

量子色动力学范例

假设u夸克 ${\displaystyle u}$ 与d夸克 ${\displaystyle d}$ 的质量为零，则这两个夸克组成的物理系统的拉格朗日量为

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\overline {u}}\,i\displaystyle {\not }D\,u+{\overline {d}}\,i\displaystyle {\not }D\,d}$ ；

其中，${\displaystyle u}$ 与 ${\displaystyle d}$ 分别为u夸克与d夸克的狄拉克旋量（Dirac spinor），${\displaystyle {\overline {u}}\ {\stackrel {def}{=}}\ u^{\dagger }\gamma ^{0}}$ 与 ${\displaystyle {\overline {d}}\ {\stackrel {def}{=}}\ d^{\dagger }\gamma ^{0}}$ 分别为它们的伴随旋量，${\displaystyle \displaystyle {\not }D}$ 是协变导数，${\displaystyle \gamma ^{0}}$ 是第零个狄拉克矩阵。

狄拉克旋量 ${\displaystyle \psi }$ 可以按照手征性分解为左手狄拉克旋量 ${\displaystyle \psi _{L}}$ 与右手狄拉克旋量 ${\displaystyle \psi _{R}}$ ︰

${\displaystyle \psi _{L}={\frac {1-\gamma ^{5}}{2}}\psi }$ 、

${\displaystyle \psi _{R}={\frac {1+\gamma ^{5}}{2}}\psi }$ ；

其中，${\displaystyle \gamma ^{5}}$ 是第五个狄拉克矩阵，${\displaystyle (1\mp \gamma ^{5})/2}$ 是投影算符，可以挑选出狄拉克旋量的左手部分或右手部分。

拉格朗日量以左手狄拉克旋量与右手狄拉克旋量表示为

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\overline {u}}_{L}\,i\displaystyle {\not }D\,u_{L}+{\overline {u}}_{R}\,i\displaystyle {\not }D\,u_{R}+{\overline {d}}_{L}\,i\displaystyle {\not }D\,d_{L}+{\overline {d}}_{R}\,i\displaystyle {\not }D\,d_{R}}$ 。

定义狄拉克旋量二重态为

${\displaystyle q=\left({\begin{matrix}u\\d\end{matrix}}\right)}$ 。

重写狄拉克旋量为

${\displaystyle {\mathcal {L}}={\overline {q}}_{L}\,i\displaystyle {\not }D\,q_{L}+{\overline {q}}_{R}\,i\displaystyle {\not }D\,q_{R}}$。

分别对 ${\displaystyle q_{L}}$ 、${\displaystyle q_{R}}$ 用2 x 2 么矩阵 L、R做旋转变换，则拉格朗日量不变。这种对称性称为“手征对称性”。这种变换为U(2)_L× U(2)_R变换，可以分解为SU(2)_L×SU(2)_R×U(1)_V×U(1)_A变换。^[2]

U(1)_V变换的方式为

${\displaystyle q_{L}\rightarrow e^{i\theta }q_{L}\qquad q_{R}\rightarrow e^{i\theta }q_{R}}$。

拉格朗日量对于这变换的对称性关系到强子数量守恒。

U(1)_A变换的方式为

${\displaystyle q_{L}\rightarrow e^{i\theta }q_{L}\qquad q_{R}\rightarrow e^{-i\theta }q_{R}}$。

拉格朗日量对于U(1)_A变换的对称性在量子层级被打破，这是一个明显对称性破缺，这结果称为U(1)轴反常。

剩下的手征对称性SU(2)_L×SU(2)_R会因夸克凝聚被自发打破为矢量子群SU(2)_V，称为同位旋。根据戈德斯通定理，当连续对称性被自发打破后必会生成一种零质量玻色子，称为戈德斯通玻色子。手征对称性也是连续对称性，它的戈德斯通玻色子是π介子。对应于这三个生成子的戈德斯通玻色子为π介子。实际而言，由于u夸克与d夸克的质量都很微小。SU(2)_L×SU(2)_R只是一个近似对称性。因此，π介子具有些微质量，是准戈德斯通玻色子（pseudo-Goldstone boson）。^[3]

参阅

• 手征对称性破缺