弹性碰撞

弹性碰撞是碰撞前后整个系统动能不变的碰撞。弹性碰撞的必要条件是动能没有转成其他形式的能量（热能、转动能量），例如：原子的碰撞。

一维碰撞

动能守恒：(初速度记为 ${\displaystyle u}$，末速度记为 ${\displaystyle v}$)

${\displaystyle {\frac {1}{2}}m_{1}u_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}u_{2}^{2}={\frac {1}{2}}m_{1}v_{1}^{2}+{\frac {1}{2}}m_{2}v_{2}^{2}}$

动量守恒：

${\displaystyle \,\!m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}=m_{1}v_{1}+m_{2}v_{2}}$

从动量守恒式解 ${\displaystyle v_{1}}$：

${\displaystyle v_{1}={\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}-m_{2}\cdot v_{2}}{m_{1}}}}$

我们不想让 ${\displaystyle v_{1}}$ 的分子中出现末速 ${\displaystyle v_{2}}$，这里需要一些技巧换掉 ${\displaystyle v_{2}}$！

对动能守恒式使用平方差公式：

${\displaystyle m_{1}u_{1}^{2}+m_{2}u_{2}^{2}=m_{1}v_{1}^{2}+m_{2}v_{2}^{2}}$

${\displaystyle m_{1}(u_{1}-v_{1})(u_{1}+v_{1})=m_{2}(v_{2}-u_{2})(v_{2}+u_{2})}$

对动量守恒式移项：

${\displaystyle m_{1}(u_{1}-v_{1})=m_{2}(v_{2}-u_{2})}$

上面两式直接相除：

${\displaystyle u_{1}+v_{1}=v_{2}+u_{2}}$

现在可得 ${\displaystyle v_{1}}$ 的最终形式：

${\displaystyle {\boldsymbol {v}}_{1}={\frac {m_{1}u_{1}+m_{2}u_{2}-m_{2}\cdot (u_{1}+{\boldsymbol {v}}_{1}-u_{2})}{m_{1}}}}$

把 ${\displaystyle v_{1}}$ 整理到一起：

${\displaystyle v_{1}={\frac {u_{1}(m_{1}-m_{2})+2m_{2}u_{2}}{m_{1}+m_{2}}}}$

同理，使用相同的套路也可得：

${\displaystyle v_{2}={\frac {u_{2}(m_{2}-m_{1})+2m_{1}u_{1}}{m_{1}+m_{2}}}}$

或用质心速度化简为：

${\displaystyle u_{1}+v_{1}={\frac {2m_{1}v_{1}+2m_{2}v_{2}}{m_{1}+m_{2}}}=2\cdot v_{\textrm {CoM}}}$

和

${\displaystyle u_{2}+v_{2}=2\cdot v_{\textrm {CoM}}}$

性质

• ${\displaystyle v_{1}-v_{2}=u_{2}-u_{1}}$ ：一个物件相对另一个物件的速度，在碰撞后逆转。
• 物件在碰撞前后的平均动量相同。
• 质心的速度不变。
• 两个碰撞物的质量相同，则两者速度互换。
• 若一物碰撞一个质量相对极小的另一物，则前者的速度几乎不变，而后者以近乎原前者两倍速度弹出。
• 若一物碰撞一个质量相对极大的另一物，则前者的以近乎原速率反弹，而后者几乎不动。

例子

两相同质量物体的完全弹性碰撞

两相同质量物体完全弹性碰撞

两不同质量物体完全弹性碰撞

应用

中子减速剂有许多质量小的原子核的原子（另一个好处是它们不易吸收中子），因为质量最小的原子核和中子的质量十分接近。

参见

• 非弹性碰撞
• 恢复系数