弦宇宙学

弦宇宙学是个相对较新的领域，主要尝试以方程解决早期宇宙复杂的问题。有另一学说：膜宇宙论与本理论相关。

概观

弦宇宙学的近似最早可以溯源到加布里埃莱·韦内齐亚诺的论文^[1]。该论文指出持续膨胀的宇宙模型可以自弦论推论得出，与此同时也开启了一窥大爆炸前宇宙的窗。

这个概念与玻色弦理论中，在弯曲空间上玻色弦（也就是非线性σ模型）的性质有关。计算表明，反映模型的度规随能量标度的跑动情况的β函数与里奇曲率张量成正比，导致里奇流的产生。^[2]因为此模型有共形不变性，为了得到一个自洽的量子场论，我们对他进行量子化，这一对称性仍须维持，也就是不能出现摄动反常。因此β函数必须为零，这时前述的方程将退化成爱因斯坦重力场方程。虽然爱因爱因斯坦重力场方程在此似乎不太适用，但无论如何，这个结论是有趣的，表明二维弦论的模型产生更高维度的物理。有趣的是，在平坦空间中的弦理论中，需要假定空间的维数为26以保持理论的自洽性；但是描述弯曲空间中的弦论时不需要这一假定。这是一个重要的提示，告诉我们在爱因斯坦重力场方程下的物理可以等效地，被二维的共形场论描述。确实，事实上我们可以说宇宙暴胀就是弦宇宙学重要的证据。 在宇宙暴胀以后的演化历史中，今日被观测到的宇宙膨胀可以用弗里德曼方程很好地描述。在这两个不同的阶段之间应有平滑连续的转换过程，但弦论在解释这个现象时发生问题，而此问题又被称作“优雅的退场问题”。

宇宙暴胀理论表明有一标量场来驱动暴胀。弦宇宙学中，这样的标量场源于胀子场，将该标量项带入玻色弦的描述就会在低能有效理论下产生标量场。与之对应的场方程与布莱恩斯-迪克引力理论中的类似。

经过若干的分析，我们已经将临界维度的数量从26降至4。广义来说我们能在任意维度的空间中得到弗里德曼方程；另一个方式是假定一特定的空间维度可以被紧化成有效的四维空间理论来处理。这样的理论就是从被紧化的维度引出典型带有一组标量场的卡鲁扎-克莱因理论，同时这样的场我们叫他膜。

数学表达

此部分将列举出与弦宇宙论有关的方程。首先是亚历山大·泊里雅科夫作用量，可以被表示成：

${\displaystyle S_{2}={\frac {1}{4\pi \alpha '}}\int d^{2}z{\sqrt {\gamma }}\left[\gamma ^{ab}G_{\mu \nu }(X)\partial _{a}X^{\mu }\partial _{b}X^{\nu }+\alpha '\ ^{(2)}R\Phi (X)\right],}$

${\displaystyle \ ^{(2)}R}$是二维空间下的里奇标量；${\displaystyle \Phi }$则是膜场，而${\displaystyle \alpha '}$ 是弦常数。${\displaystyle a,b}$取1或2，而${\displaystyle \mu ,\nu }$ 从${\displaystyle 1,\ldots ,D}$，其中D是系统所在维度。可以加上其他的反对称场——当我们希望作用量“自动”产生暴胀的势能时，通常会考虑加入反对称场^[3]。在其它情形下，我们可以人为加入一泛型势能和宇宙常数。

以上的作用量有共形不变性，这是二维黎曼流形的性质。由于摄动反常，在量子层面上共形不变性可能被破坏，当这样的对称性破坏生时，理论会丢失幺正性而变得不那么完备。所以有必要要求共形不变性在摄动理论的任意一阶都保持不变。摄动理论只是为了给出量子场论的近似解。事实上，β函数在两圈图下具有如下形式：

${\displaystyle \beta _{\mu \nu }^{G}=R_{\mu \nu }+2\alpha '\nabla _{\mu }\Phi \nabla _{\nu }\Phi +O(\alpha '^{2}),}$

以及

${\displaystyle \beta ^{\Phi }={\frac {D-26}{6}}-{\frac {\alpha '}{2}}\nabla ^{2}\Phi +\alpha '\nabla _{\kappa }\Phi \nabla ^{\kappa }\Phi +O(\alpha '^{2}).}$

我们假设共形不变性成立，代表：

${\displaystyle \beta _{\mu \nu }^{G}=\beta ^{\Phi }=0,}$

就可以得出对应的低能量作用量方程。这样的条件只能在摄动的条件下被满足，并且在摄动理论的任意一阶都应该满足。${\displaystyle \beta ^{\Phi }}$表达式中的第一项只是玻色弦在平坦时空下的摄动反常项。但在这里即使${\displaystyle D\neq 26}$（进而第一项不等于0），其它项也可能与该项相消，以至于理论中没有反常项。大爆炸前事件的宇宙学模型可以由此建构出来。的确，此低能量方程可以从以下作用量中得到：

${\displaystyle S={\frac {1}{2\kappa _{0}^{2}}}\int d^{D}x{\sqrt {-G}}e^{-2\Phi }\left[-{\frac {2(D-26)}{3\alpha '}}+R+4\partial _{\mu }\Phi \partial ^{\mu }\Phi +O(\alpha ')\right],}$

${\displaystyle \kappa _{0}^{2}}$是永远可以由重新定义膜场而被改变的常数，我们可以利用爱因斯坦参考系，按如下方式重新定义场，改写此作用量成我们更熟悉的形式。

${\displaystyle \,g_{\mu \nu }=e^{2\omega }G_{\mu \nu }\!,}$

${\displaystyle \omega ={\frac {2(\Phi _{0}-\Phi )}{D-2}},}$

用${\displaystyle {\tilde {\Phi }}=\Phi -\Phi _{0}}$我们可以写下：

${\displaystyle S={\frac {1}{2\kappa ^{2}}}\int d^{D}x{\sqrt {-g}}\left[-{\frac {2(D-26)}{3\alpha '}}e^{\frac {4{\tilde {\Phi }}}{D-2}}+{\tilde {R}}-{\frac {4}{D-2}}\partial _{\mu }{\tilde {\Phi }}\partial ^{\mu }{\tilde {\Phi }}+O(\alpha ')\right],}$

其中：

${\displaystyle {\tilde {R}}=e^{-2\omega }[R-(D-1)\nabla ^{2}\omega -(D-2)(D-1)\partial _{\mu }\omega \partial ^{\mu }\omega ].}$

这是描述“标量场与重力场在D维度下的相互作用”的爱因斯坦作用量的表达式。的确，下列恒等式成立：

${\displaystyle \kappa =\kappa _{0}e^{2\Phi _{0}}=(8\pi G_{D})^{\frac {1}{2}}={\frac {\sqrt {8\pi }}{M_{p}}},}$

${\displaystyle G_{D}}$为D维度下的牛顿常数，${\displaystyle M_{p}}$为相应的普朗克质量。当我们在此作用量中设定${\displaystyle D=4}$时，暴胀的条件并不被满足——除非在弦理论的作用量加入势能或是反对称项^[3]，在那样的情形中指数暴胀是可能发生的。

注脚

1. Veneziano, G. Scale factor duality for classical and quantum strings. Physics Letters B. 1991, 265 (3–4): 287. Bibcode:1991PhLB..265..287V. doi:10.1016/0370-2693(91)90055-U.
2. Friedan, D. Nonlinear Models in 2+ε Dimensions (PDF). Physical Review Letters. 1980, 45 (13): 1057 [2019-01-12]. Bibcode:1980PhRvL..45.1057F. doi:10.1103/PhysRevLett.45.1057. （原始内容 (PDF)存档于2020-08-24）.
3. 1 Easther, R.; Maeda, Kei-ichi; Wands, D. Tree-level string cosmology. Physical Review D. 1996, 53 (8): 4247. Bibcode:1996PhRvD..53.4247E. arXiv:hep-th/9509074 . doi:10.1103/PhysRevD.53.4247.

参考文献

• Polchinski, Joseph. String Theory Vol. I: An Introduction to the Bosonic String. Cambridge University Press. 1998a. ISBN 0-521-63303-6.
• Polchinski, Joseph. String Theory Vol. II: Superstring Theory and Beyond. Cambridge University Press. 1998b. ISBN 0-521-63304-4.
• Lidsey, James D.; Wands, David; Copeland, E. J. Superstring Cosmology. Physics Reports. 2000, 337 (4–5): 343. Bibcode:2000PhR...337..343L. arXiv:hep-th/9909061 . doi:10.1016/S0370-1573(00)00064-8.

外部链接

• String cosmology on arxiv.org （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Maurizio Gasperini's homepage （页面存档备份，存于互联网档案馆）