广义坐标

广义坐标是不特定的坐标。假若用一组广义坐标来导引方程，所得到的答案，可以应用于较广泛的问题；并且，当最后终于设定这坐标时，答案仍旧是正确的^[1]。拉格朗日力学，哈密顿力学都需要用到广义坐标来表示基要概念与方程。

独立的广义坐标

当分析有的问题时（尤其是当有许多约束条件的时候），最好尽量选择独立的广义坐标。因为，这样可以减少代表约束的变量。但是，当遇到非完整约束时，或者当计算约束力时，就必须使用关于这约束力的，相依的广义坐标。

在三维空间里，假设一个物理系统拥有${\displaystyle n\,\!}$颗粒子；那么，这系统的自由度是${\displaystyle 3n\,\!}$。再假设这系统有${\displaystyle h\,\!}$个完整约束；那么，这系统的自由度变为${\displaystyle m=3n-h\,\!}$。必须用${\displaystyle m\,\!}$个独立广义坐标${\displaystyle (q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m})\,\!}$与时间${\displaystyle t\,\!}$来完全描述这系统的运动。坐标的变换方程可以表示如下：

${\displaystyle \mathbf {r} _{i}=\mathbf {r} _{i}(q_{1},\ q_{2},\ \dots ,\ q_{m},\ t)\ ,\qquad \qquad \qquad (i=1,\ 2,\ \dots n\,\!)}$。

在处理复杂的系统时，这变换方程具有足够的灵活性来选择最合适的坐标。在思考虚位移与广义力时，这变换方程也可以用来建造微分。

实例

双摆

一个复摆，被约束地移动于一垂直平面，可以用四个直角坐标${\displaystyle \lbrace x_{1},\ y_{1},\ x_{2},\ y_{2}\rbrace \,\!}$来描述。但是，这系统的自由度是2；可以用两个广义坐标来更精简地描述这双摆运动：

${\displaystyle \lbrace q_{1},\ q_{2}\rbrace =\lbrace \theta _{1},\ \theta _{2}\rbrace \,\!}$；

这里，

${\displaystyle \lbrace x_{1},\ y_{1}\rbrace =\lbrace l_{1}\sin \theta _{1},\ l_{1}\cos \theta _{1}\rbrace \,\!}$，

${\displaystyle \lbrace x_{2},\ y_{2}\rbrace =\lbrace l_{1}\sin \theta _{1}+l_{2}\sin \theta _{2},\ l_{1}\cos \theta _{1}+l_{2}\cos \theta _{2}\rbrace \,\!}$。

一粒珠子，被约束地移动在一条穿过它的铁丝上，自由度是1。它的运动可以用一个广义坐标来描述

${\displaystyle q_{1}=s\,\!}$；

这里，${\displaystyle s\,\!}$是珠子离铁丝上一个参考点的径长。这三维空间运动已被减缩为一维空间运动了。

一个物体，被约束在一个表面上，自由度是2；虽然它的运动也是嵌在三维空间里。如果这表面是球表面，一个很好的选择是

${\displaystyle \lbrace q_{1},\ q_{2}\rbrace =\lbrace \theta ,\ \phi \rbrace \,\!}$；

这里，${\displaystyle \theta \,\!}$与${\displaystyle \phi \,\!}$是球坐标系的角坐标。因为${\displaystyle r\,\!}$坐标是常数，可以被忽略掉。

参阅

• 拉格朗日力学
• 哈密顿力学
• 虚功
• 广义力
• 广义速度

参考文献

1. Torby, Bruce. Advanced Dynamics for Engineers. HRW Series in Mechanical Engineering. United States of America: CBS College Publishing. 1984: pp. 259. ISBN 0-03-063366-4 （英语）. 引文格式1维护：冗余文本 (link)