塞瓦定理

塞瓦线，或称为赛瓦线段是各顶点与其对边或对边延长线上的一点连接而成的直线段。塞瓦定理（英语：Ceva's theorem）指出：如果${\displaystyle \triangle ABC}$的塞瓦线段${\displaystyle {\overline {AD}}}$ 、${\displaystyle {\overline {BE}}}$、${\displaystyle {\overline {CF}}}$ 通过同一点${\displaystyle O}$，则

${\displaystyle {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\cdot {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}=1}$

三条线段的交点O 位于三角形ABC的内部

三条线段的交点O 位于三角形ABC的外部

它的逆定理同样成立：若${\displaystyle D}$、${\displaystyle E}$、${\displaystyle F}$分别在${\displaystyle \triangle ABC}$的边${\displaystyle {\overline {BC}}}$、${\displaystyle {\overline {CA}}}$、${\displaystyle {\overline {AB}}}$或其延长线上（都在边上或有两点在延长线上），且满足

${\displaystyle {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\cdot {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}=1}$，

则直线${\displaystyle {\overline {AD}}}$、${\displaystyle {\overline {BE}}}$、${\displaystyle {\overline {CF}}}$共点或彼此平行（于无限远处共点）。当${\displaystyle {\overline {AD}}}$、${\displaystyle {\overline {BE}}}$、${\displaystyle {\overline {CF}}}$中的任意两直线交于一点时，则三直线共点；当${\displaystyle {\overline {AD}}}$、${\displaystyle {\overline {BE}}}$、${\displaystyle {\overline {CF}}}$中的任意两直线平行时，则三直线平行。

它最先由意大利数学家乔瓦尼·塞瓦证明，因而得名。此定理又译西瓦定理或帅氏定理。

证明

设 h = A 到 ${\displaystyle {\overline {BC}}}$ 的距离

${\displaystyle \triangle ABD}$ 的面积 = ${\displaystyle (1/2)\cdot h\cdot {\overline {BD}}}$

${\displaystyle \triangle ADC}$ 的面积 = ${\displaystyle (1/2)\cdot h\cdot {\overline {DC}}}$

${\displaystyle \therefore \triangle ABD}$ 的面积 / ${\displaystyle \triangle ADC}$ 的面积 = ${\displaystyle {\overline {BD}}/{\overline {DC}}}$

${\displaystyle \because \quad {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle ABD}}{\mathrm {S} _{\triangle ADC}}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle OBD}}{\mathrm {S} _{\triangle ODC}}}.}$

由等比性质,

${\displaystyle {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle ABD}-\mathrm {S} _{\triangle OBD}}{\mathrm {S} _{\triangle ADC}-\mathrm {S} _{\triangle ODC}}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle ABO}}{\mathrm {S} _{\triangle CAO}}}.}$

同理 ${\displaystyle {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle BCO}}{\mathrm {S} _{\triangle ABO}}},\;{\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle CAO}}{\mathrm {S} _{\triangle BCO}}}.}$

${\displaystyle \therefore \quad {\frac {\overline {BD}}{\overline {DC}}}\cdot {\frac {\overline {CE}}{\overline {EA}}}\cdot {\frac {\overline {AF}}{\overline {FB}}}={\frac {\mathrm {S} _{\triangle ABO}}{\mathrm {S} _{\triangle CAO}}}\cdot {\frac {\mathrm {S} _{\triangle BCO}}{\mathrm {S} _{\triangle ABO}}}\cdot {\frac {\mathrm {S} _{\triangle CAO}}{\mathrm {S} _{\triangle BCO}}}=1.}$

证毕。^[1][2]

系理：角平分线定理

在三角形${\displaystyle ABC}$中，${\displaystyle \angle A}$的角平分线交${\displaystyle {\overline {BC}}}$于${\displaystyle D}$，${\displaystyle {\frac {\overline {DB}}{\overline {DC}}}={\frac {\overline {AB}}{\overline {AC}}}}$。

参见

• 梅涅劳斯定理
• 莫雷角三分线定理

1. Russell, John Wellesley. Ch. 1 §7 Ceva's Theorem. Pure Geometry. Clarendon Press. 1905.
2. Alfred S. Posamentier and Charles T. Salkind (1996), Challenging Problems in Geometry, pages 177–180, Dover Publishing Co., second revised edition.