堆垒数论

在数论中，堆垒数论（additive number theory）也称为堆叠数论或加性数论，研究整数的子集合，以及其在加法下的特性。堆垒数论的领域也包括对于有加法的阿贝尔群及交换半群（英语：commutative semigroup）的研究。堆垒数论和组合数论及几何数论有密切的关系。其中主要研究的二个物件分别是阿贝尔群G中二个子集A及B的和集

${\displaystyle A+B=\{a+b:a\in A,b\in B\}}$,

以及A的h重和集

${\displaystyle hA={\underset {h}{\underbrace {A+\cdots +A} }}.}$

有二个主要的子领域，描述如下。

堆垒数论

此领域主要关注整数的直接问题，也就是由A的结构来判断hA的结构。例如假设A是个固定的子集，判断哪些元集可以表示为hA的和^[1]。此领域有二个经典的问题，一个是哥德巴赫猜想（猜想2P包括了所有大于2的偶数，其中P为质数）以及华林问题（确认h要多大才能确保hA_k包括所有正整数，其中

${\displaystyle A_{k}=\{0^{k},1^{k},2^{k},3^{k},\ldots \}}$

是k次方的集合）。其中许多问题都使用了源自哈代-李特尔伍德圆法及筛法的工具。例如Vinogradov证明了每一个够大的奇数都可以表示为三个质数的和，以及所有够大的偶数都可以表示都可以表示为四个质数的和。希尔伯特证明，对于每一个大于1的整数k，每一个非负整数都是有限个k次方数的和。一般而言，非负整数的集合A，若可以让hA包括所有的正整数，A会称为h阶的基底（basis of order h），若hA包括所有够大的整数，A会称为渐近基底（asymptotic basis）。许多近期的研究是关注有限阶渐近基底的一般特性。例如，若集合A是h阶渐近基底，而集合A的真子集都不是h阶渐近基底，则集合A称为h阶的最小渐近基底。而埃尔德什-图兰堆垒基猜想（英语：Erdős–Turán conjecture on additive bases）也是有关渐近基底的猜想。

加性组合学

第二个领域主要是关注反问题，多半是和多个比整数范围要广的群有关，假设已知A+B sumset的资讯，目的是要找到个别集合A和B的资讯^[2]。（最近此子领域常用的名称为加性组合学）。和上述有关基底的问题不同，此领域处理的多半是有限个子集而不是无限个。典型的问题是二个子集的sumset有很小的势（和|A|和|B|相比），二个子集有什么样的结构。在整数的例子中，经典的Freiman问题（英语：Freiman's theorem）用多维算术级数（英语：multi-dimensional arithmetic progression）提供了有力的部分答案。另一个典型的问题是要将|A+B|的下限以|A|和|B|来表示。这类问题的例子有Erdős–Heilbronn猜想（英语：Erdős–Heilbronn Conjecture）（针对restricted sumset（英语：restricted sumset））及柯西–达文波特定理（英语：Cauchy–Davenport theorem）。用来解决这类问题的方式来自各数学领域，例如组合学、遍历理论、分析、图论、群论、线性代数及多项式法。

相关条目

• 沙普利－福克曼引理：研究实向量空间子集的和集。
• 乘性数论（英语：Multiplicative number theory）

参考资料

1. Nathanson (1996) II:1
2. Nathanson (1996) II:6

• Henry Mann. Addition Theorems: The Addition Theorems of Group Theory and Number Theory Corrected reprint of 1965 Wiley. Huntington, New York: Robert E. Krieger Publishing Company. 1976. ISBN 0-88275-418-1.
• Nathanson, Melvyn B. Additive Number Theory: The Classical Bases. Graduate Texts in Mathematics 164. Springer-Verlag. 1996. ISBN 0-387-94656-X. Zbl 0859.11002.
• Nathanson, Melvyn B. Additive Number Theory: Inverse Problems and the Geometry of Sumsets. Graduate Texts in Mathematics 165. Springer-Verlag. 1996. ISBN 0-387-94655-1. Zbl 0859.11003.
• Tao, Terence; Vu, Van. Additive Combinatorics. Cambridge Studies in Advanced Mathematics 105. Cambridge University Press. 2006.

外部链接

• Hazewinkel, Michiel (编), Additive number theory, 数学百科全书, Springer, 2001, ISBN 978-1-55608-010-4
• 埃里克·韦斯坦因. Additive Number Theory. MathWorld.