取整函数

在数学和计算机科学中，取整函数是一类将实数映射到相近的整数的函数。^[1]

下取整函数

上取整函数

常用的取整函数有两个，分别是下取整函数（英语：floor function）和上取整函数（ceiling function）。

下取整函数即为取底符号，在数学中一般记作${\displaystyle [x]}$或者${\displaystyle \lfloor x\rfloor }$或者${\displaystyle E(x)}$，在计算机科学中一般记作floor(x)，表示不超过x的整数中最大的一个。

${\displaystyle [x]=\max \,\{n\in \mathbb {Z} \mid n\leq x\}.}$

举例来说，${\displaystyle [3.633]=3}$，${\displaystyle [56]=56}$，${\displaystyle [-2]=-2}$，${\displaystyle [-2.263]=-3}$。对于非负的实数，其下取整函数的值一般叫做它的整数部分或取整部分。而${\displaystyle x-[x]}$叫做x的小数部分。每个分数都可以表示成其整数部分与一个真分数的和，而实数的整数部分和小数部分是与此概念相应的拓延。

下取整函数的符号用方括号表示（${\displaystyle [x]}$），称作高斯符号，首次出现是在卡尔·弗里德里希·高斯的数学著作《算术研究》。

上取整函数即为取顶符号在数学中一般记作${\displaystyle \lceil x\rceil }$，在计算机科学中一般记作ceil(x)，表示不小于x的整数中最小的一个。

${\displaystyle \lceil x\rceil =\min\{n\in \mathbb {Z} \mid x\leq n\}.}$

举例来说，${\displaystyle \lceil 3.633\rceil =4}$，${\displaystyle \lceil 56\rceil =56}$，${\displaystyle \lceil -2\rceil =-2}$，${\displaystyle \lceil -2.263\rceil =-2}$。

计算机中的上取整函数和下取整函数的命名来自于英文的ceiling（天花板）和floor（地板），1962年由肯尼斯·艾佛森于《A Programming Language》引入。^[2]

性质

对于高斯符号，有如下性质。

• 按定义：

  ${\displaystyle [x]\leq x<[x]+1}$ 当且仅当x为整数时取等号。

• 设x和n为正整数，则：

  ${\displaystyle \left[{\frac {n}{x}}\right]\geq {\frac {n}{x}}-{\frac {x-1}{x}}}$

• 当n为正整数时，有：

  ${\displaystyle \left\lbrack {\frac {x}{n}}\right\rbrack ={\frac {x-x{\bmod {n}}}{n}},}$ 其中${\displaystyle x{\bmod {n}}}$表示${\displaystyle x}$除以${\displaystyle n}$的余数。

• 对任意的整数k和任意实数x，

  ${\displaystyle [{k+x}]=k+[x].}$

• 一般的数值修约规则可以表述为将x映射到floor(x + 0.5)；
• 高斯符号不是连续函数，但是上半连续的。作为一个分段的常数函数，在其导数有定义的地方，高斯符号导数为零。
• 设x为一个实数，n为整数，则由定义，n ≤ x当且仅当n ≤ floor(x)。
• 当x是正数时，有：

  ${\displaystyle \left\lbrack 2x\right\rbrack -2\left\lbrack x\right\rbrack \leqslant 1}$

• 用高斯符号可以写出若干个素数公式，但没有什么实际价值，见§ 素数公式。
• 对于非整数的x，高斯符号有如下的傅里叶级数展开：

  ${\displaystyle [x]=x-{\frac {1}{2}}+{\frac {1}{\pi }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin(2\pi kx)}{k}}.}$

• 根据Beatty定理，每个正无理数都可以通过高斯符号制造出一个整数集的分划。
• 最后，对于每个正整数k，其在 p 进制下的表示有 ${\displaystyle [\log _{p}(k)]+1}$ 个数位。

函数间之关系

由上下取整函数的定义，可见

${\displaystyle \lfloor x\rfloor \leq \lceil x\rceil ,}$

等号当且仅当${\displaystyle x}$为整数，即

${\displaystyle \lceil x\rceil -\lfloor x\rfloor ={\begin{cases}0,&{\text{ 若 }}\ x\in \mathbb {Z} ,\\1,&{\text{ 若 }}\ x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

实际上，上取整与下取整函数作用于整数${\displaystyle n}$，效果等同恒等函数：

${\displaystyle \lfloor n\rfloor =\lceil n\rceil =n.}$

自变量加负号，相当于将上取整与下取整互换，外面再加负号，即：

${\displaystyle {\begin{aligned}\lfloor x\rfloor +\lceil -x\rceil &=0,\\-\lfloor x\rfloor &=\lceil -x\rceil ,\\-\lceil x\rceil &=\lfloor -x\rfloor .\end{aligned}}}$

且：

${\displaystyle \lfloor x\rfloor +\lfloor -x\rfloor ={\begin{cases}0,&{\text{ 若 }}\ x\in \mathbb {Z} ,\\-1,&{\text{ 若 }}\ x\not \in \mathbb {Z} ,\end{cases}}}$

${\displaystyle \lceil x\rceil +\lceil -x\rceil ={\begin{cases}0,&{\text{ 若 }}\ x\in \mathbb {Z} ,\\1,&{\text{ 若 }}\ x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

至于小数部分${\displaystyle \{x\}=x-\lfloor x\rfloor }$，自变量取相反数会使小数部分变成关于1的“补码”：

${\displaystyle \{x\}+\{-x\}={\begin{cases}0,&{\text{ 若 }}\ x\in \mathbb {Z} ,\\1,&{\text{ 若 }}\ x\not \in \mathbb {Z} .\end{cases}}}$

上取整、下取整、小数部分皆为幂等函数，即函数迭代两次的结果等于自身：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lfloor x\rfloor {\Big \rfloor }&=\lfloor x\rfloor ,\\{\Big \lceil }\lceil x\rceil {\Big \rceil }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \{}\{x\}{\Big \}}&=\{x\}.\end{aligned}}}$

而多个上取整与下取整依次迭代的效果，相当于最内层一个：

${\displaystyle {\begin{aligned}{\Big \lfloor }\lceil x\rceil {\Big \rfloor }&=\lceil x\rceil ,\\{\Big \lceil }\lfloor x\rfloor {\Big \rceil }&=\lfloor x\rfloor ,\end{aligned}}}$

因为外层取整函数实际只作用在整数上，不带来变化。

商

若${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$为正整数，且${\displaystyle n\neq 0}$，则

${\displaystyle 0\leq \left\{{\frac {m}{n}}\right\}\leq 1-{\frac {1}{|n|}}.}$

若${\displaystyle n}$为正整数，则^[3]

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {x+m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {\lfloor x\rfloor +m}{n}}\right\rfloor ,}$

${\displaystyle \left\lceil {\frac {x+m}{n}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {\lceil x\rceil +m}{n}}\right\rceil .}$

若${\displaystyle m}$为正数，则^[4]

${\displaystyle n=\left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil +\left\lceil {\frac {n-1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor .}$

代${\displaystyle m=2}$，上式推出：

${\displaystyle n=\left\lfloor {\frac {n}{2}}\right\rfloor +\left\lceil {\frac {n}{2}}\right\rceil .}$

更一般地，对正整数${\displaystyle m}$，有埃尔米特恒等式（英语：Hermite's identity）：^[5]

${\displaystyle \lceil mx\rceil =\left\lceil x\right\rceil +\left\lceil x-{\frac {1}{m}}\right\rceil +\dots +\left\lceil x-{\frac {m-1}{m}}\right\rceil ,}$

${\displaystyle \lfloor mx\rfloor =\left\lfloor x\right\rfloor +\left\lfloor x+{\frac {1}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor x+{\frac {m-1}{m}}\right\rfloor .}$

对于正整数${\displaystyle m}$，以下两式可将上下取整函数互相转化：^[6]

${\displaystyle \left\lceil {\frac {n}{m}}\right\rceil =\left\lfloor {\frac {n+m-1}{m}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor +1,}$

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor =\left\lceil {\frac {n-m+1}{m}}\right\rceil =\left\lceil {\frac {n+1}{m}}\right\rceil -1.}$

对任意正整数${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$，有：^[7]

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {(m-1)(n-1)+\gcd(m,n)-1}{2}},}$

作为特例，当${\displaystyle m}$和${\displaystyle n}$互素时，上式简化为

${\displaystyle \sum _{k=1}^{n-1}\left\lfloor {\frac {km}{n}}\right\rfloor ={\frac {1}{2}}(m-1)(n-1).}$

此等式可以几何方式证明。又由于右式关于${\displaystyle m}$、${\displaystyle n}$对称，可得

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {m}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m}{n}}\right\rfloor =\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n}{m}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n}{m}}\right\rfloor .}$

更一般地，对正整数${\displaystyle m,n}$，有

${\displaystyle {\begin{aligned}&\left\lfloor {\frac {x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {m+x}{n}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2m+x}{n}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {(n-1)m+x}{n}}\right\rfloor \\=&\left\lfloor {\frac {x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {n+x}{m}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2n+x}{m}}\right\rfloor +\cdots +\left\lfloor {\frac {(m-1)n+x}{m}}\right\rfloor .\end{aligned}}}$

上式算是一种“互反律”（reciprocity law）^[7]，与§ 二次互反律有关。

应用

二次互反律

高斯给出二次互反律的第三个证明，经艾森斯坦修改后，有以下两个主要步骤。^[8][9]

设${\displaystyle p}$、${\displaystyle q}$为互异奇素数，又设

${\displaystyle m={\frac {p-1}{2}},}$ ${\displaystyle n={\frac {q-1}{2}}.}$

首先，利用高斯引理，证明勒让德符号可表示为和式：

${\displaystyle \left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor },}$

同样

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor }.}$

其后，采用几何论证，证明

${\displaystyle \left\lfloor {\frac {q}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2q}{p}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {mq}{p}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {p}{q}}\right\rfloor +\left\lfloor {\frac {2p}{q}}\right\rfloor +\dots +\left\lfloor {\frac {np}{q}}\right\rfloor =mn.}$

总结上述两步，得

${\displaystyle \left({\frac {p}{q}}\right)\left({\frac {q}{p}}\right)=(-1)^{mn}=(-1)^{{\frac {p-1}{2}}{\frac {q-1}{2}}}.}$

此即二次互反律。一些小整数模奇素数${\displaystyle p}$的二次特征标，可以高斯符号表示，如：^[10]

${\displaystyle \left({\frac {2}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{4}}\right\rfloor },}$

${\displaystyle \left({\frac {3}{p}}\right)=(-1)^{\left\lfloor {\frac {p+1}{6}}\right\rfloor }.}$

素数公式

下取整函数出现于若干刻画素数的公式之中。举例，因为${\displaystyle \left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor }$在${\displaystyle m}$整除${\displaystyle n}$时等于${\displaystyle 1}$，否则为${\displaystyle 0}$，所以正整数${\displaystyle n}$为素数当且仅当^[11]

${\displaystyle \sum _{m=1}^{\infty }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=2.}$

除表示素数的条件外，还可以写出公式使其取值为素数。例如，记第${\displaystyle n}$个素数为${\displaystyle p_{n}}$，任选一个整数${\displaystyle r>1}$，然后定义实数${\displaystyle \alpha }$为

${\displaystyle \alpha =\sum _{m=1}^{\infty }p_{m}r^{-m^{2}}.}$

则只用取整、幂、四则运算可以写出素数公式：^[12]

${\displaystyle p_{n}=\left\lfloor r^{n^{2}}\alpha \right\rfloor -r^{2n-1}\left\lfloor r^{(n-1)^{2}}\alpha \right\rfloor .}$

类似还有米尔斯常数${\displaystyle \theta =1.3064\ldots }$，使

${\displaystyle \left\lfloor \theta ^{3}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{9}\right\rfloor ,\left\lfloor \theta ^{27}\right\rfloor ,\dots }$

皆为素数。^[13]

若不迭代三次方函数，改为迭代以${\displaystyle 2}$为㡳的指数函数，亦有${\displaystyle \omega =1.9287800\ldots }$使

${\displaystyle \left\lfloor 2^{\omega }\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{\omega }}\right\rfloor ,\left\lfloor 2^{2^{2^{\omega }}}\right\rfloor ,\dots }$

皆为素数。^[13]

以素数计算函数${\displaystyle \pi (x)}$表示小于或等于${\displaystyle x}$的素数个数。由威尔逊定理，可知^[14]

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {(j-1)!+1}{j}}-\left\lfloor {\frac {(j-1)!}{j}}\right\rfloor \right\rfloor .}$

又或者，当${\displaystyle n\geq 2}$时：^[15]

${\displaystyle \pi (n)=\sum _{j=2}^{n}\left\lfloor {\frac {1}{\sum _{k=2}^{j}\left\lfloor \left\lfloor {\frac {j}{k}}\right\rfloor {\frac {k}{j}}\right\rfloor }}\right\rfloor .}$

本小节的公式未有任何实际用途。^[16][17]

其它等式

• 对于所有实数x，有：

${\displaystyle \left\lbrack {\frac {x}{2}}\right\rbrack ={\frac {1}{4}}((-1)^{[x]}-1+2[x])}$

${\displaystyle \left\lbrack {\frac {x}{3}}\right\rbrack ={\frac {1}{3}}({\frac {2}{\sqrt {3}}}\sin({\frac {2\pi }{3}}[x]+{\frac {\pi }{3}})-1+[x])}$

• 设x为一个实数，n为整数，则

${\displaystyle \sum _{k=0}^{n-1}E(x+{\frac {k}{n}})=E(nx)}$

${\displaystyle E({\frac {1}{n}}E(nx))=E(x)}$

• 对于两个相反数的高斯符号，有：

如果x为整数，则${\displaystyle E(x)+E(-x)=0}$

否则${\displaystyle E(x)+E(-x)=-1}$

参考来源

1. Ronald Graham, Donald Knuth and Oren Patashnik（英语：Oren Patashnik）. "Concrete Mathematics". Addison-Wesley, 1999. Chapter 3, "Integer Functions".
2. Iverson, Kenneth E. A Programming Language. Wiley. 1962.
3. Graham, Knuth & Patashnik 1994，第73页.
4. Graham, Knuth & Patashnik 1994，第85页.
5. Graham, Knuth & Patashnik 1994，p. 85 and Ex. 3.15.
6. Graham, Knuth & Patashnik 1994，Ex. 3.12.
7. Graham, Knuth & Patashnik 1994，第94页.
8. Lemmermeyer 2000，§ 1.4, Ex. 1.32–1.33.
9. Hardy & Wright 1980，§§ 6.11–6.13.
10. Lemmermeyer 2000，第25页.
11. Crandall & Pomerance 2001，Ex. 1.3, p. 46，求和式的上限${\displaystyle \infty }$可以换成${\displaystyle n}$。尚有一个等价的表述：${\displaystyle n>1}$为素数当且仅当${\displaystyle \sum _{m=1}^{\lfloor {\sqrt {n}}\rfloor }\left(\left\lfloor {\frac {n}{m}}\right\rfloor -\left\lfloor {\frac {n-1}{m}}\right\rfloor \right)=1.}$
12. Hardy & Wright 1980，§ 22.3.
13. Ribenboim 1996，第186页
14. Ribenboim 1996，第181页.
15. Crandall & Pomerance 2001，Ex. 1.4, p. 46.
16. Ribenboim 1996，第180页（译文）：“虽然该些公式毫不实用⋯⋯但逻辑学家希望清晰明白不同公理体系，如何推导出算术各方面，则或许与此有关⋯⋯”
17. Hardy & Wright 1980，第344—345页（译文）：“若数${\displaystyle \alpha }$的准确值⋯⋯可以无关素数的方式表达，则该些公式之任一（或一切类似公式）的地位将截然不同。似乎没有此种可能，但却不能完全排除。”

• Crandall, Richard; Pomerance, Carl. Prime Numbers: A Computational Perspective. New York: Springer. 2001 [2022-02-06]. ISBN 0-387-94777-9. （原始内容存档于2022-04-09）.
• Graham, Ronald L.; Knuth, Donald E.; Patashnik, Oren. Concrete Mathematics. Reading Ma.: Addison-Wesley. 1994. ISBN 0-201-55802-5.
• Hardy, G. H.; Wright, E. M. An Introduction to the Theory of Numbers (Fifth edition). Oxford: Oxford University Press. 1980. ISBN 978-0-19-853171-5.
• Lemmermeyer, Franz. Reciprocity Laws: from Euler to Eisenstein. Berlin: Springer. 2000. ISBN 3-540-66957-4.
• Ribenboim, Paulo. The New Book of Prime Number Records. New York: Springer. 1996. ISBN 0-387-94457-5.

另见

截尾函数