可除群

在群论中，一个可除群是一个满足以下条件的阿贝尔群 ${\displaystyle G}$：对每个正整数 ${\displaystyle n}$ 及元素 ${\displaystyle g\in G}$，存在 ${\displaystyle h\in G}$ 使得 ${\displaystyle nh=g}$。等价的表法是：${\displaystyle \forall n>0,\;nG=G}$。事实上，可除群恰好是 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$ 上的内射模，所以有时也称之为内射群。

例子

• 有理数 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$ 对加法构成可除群。
• 一般而言，任何 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-向量空间对加法都构成可除群。
• 可除群的商群仍可除，如 ${\displaystyle \mathbb {Q} /\mathbb {Z} }$。
• p-Prüfer 群 ${\displaystyle \mathbb {Z} (p^{\infty }):=\{e^{\frac {2i\pi }{p^{m}}}:m\in \mathbb {N} _{\geq 0}\}}$ 是可除群
• 在模型论中，任何存在性封闭的群皆可解。

可除群结构定理

令 ${\displaystyle G}$ 为可解群，则其挠子群 ${\displaystyle \mathrm {Tor} (G)}$ 亦可除。由于可解群是 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-内射模，${\displaystyle \mathrm {Tor} (G)}$ 是直和项，即：

${\displaystyle G=\mathrm {Tor} (G)\oplus G/\mathrm {Tor} (G).}$

商群 ${\displaystyle G/\mathrm {Tor} (G)}$ 亦可解，而且其中没有挠元，所以它是 ${\displaystyle \mathbb {Q} }$-上的向量空间：存在集合 ${\displaystyle I}$ 使得

${\displaystyle G/\mathrm {Tor} (G)=\oplus _{i\in I}\mathbb {Q} =\mathbb {Q} ^{(I)}.}$

挠子群的结构稍复杂，然而可以证明对所有素数 ${\displaystyle p}$，存在 ${\displaystyle I_{p}}$ 使得

${\displaystyle (\mathrm {Tor} (G))_{p}=\oplus _{i\in I_{p}}\mathbb {Z} [p^{\infty }]=\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})},}$

其中 ${\displaystyle \mathrm {Tor} (G))_{p}}$ 是 ${\displaystyle \mathrm {Tor} (G)}$ 是的 ${\displaystyle p}$-准素部分。于是：

${\displaystyle G=(\oplus _{P}\mathbb {Z} [p^{\infty }]^{(I_{p})})\oplus \mathbb {Q} ^{(I)}.}$

推广

一个环 ${\displaystyle R}$ 上的左可除模是满足 ${\displaystyle \forall r\neq 0\in R,\;rM=M}$ 的模 ${\displaystyle M}$。可除群不外是可除 ${\displaystyle \mathbb {Z} }$-模。主理想域上的可除模恰好是内射模。