双重否定除去

在命题逻辑里，双重否定除去（或双重否定介入）此一推理规则允许导入（双重否定介入）或除去（双重否定除去）一对否定来导出等价的公式。这是基于如

“现在没有下雨是错的”

和

“现在正在下雨”

在语义上的等价。

形式上，双重否定除去为

  ¬¬A
  ∴ A

形式上，双重否定介入为

  A      
  ∴ ¬¬A

这两个规则可以重述如下（以相继式的形式）：

${\displaystyle \neg \neg A\vdash A}$,

${\displaystyle A\vdash \neg \neg A}$.

应用演绎定理于这两个推理规则中可产生一对有效的条件公式：

${\displaystyle \vdash \neg \neg A\rightarrow A}$,

${\displaystyle \vdash A\rightarrow \neg \neg A}$,

两者可以结合成单一个双条件公式

${\displaystyle \neg \neg A\leftrightarrow A}$.

因为双条件是一个等价关系，任一于合式公式中的~~A都可以由A所取代，而不改变此合式公式的真值。

双重否定除去是经典逻辑里的一个定理，但不是直觉逻辑里的。因为直觉逻辑在结构上的偏好，“不是没有正在下雨”此一陈述比“正在下雨”要弱。后者需要有下雨的证明，而前者只需要证明下雨不会矛盾。（此一差别亦出现在自然语言的反叙法之中。）

在集合论里也有符合此性质的补集否定运算：集合A和集合 (A^C)^C（这里的A^C表A的补集）是相同的。

另见

• 逻辑非