厄尔米特小波

埃尔米特小波由埃尔米特多项式组成，第n个埃尔米特小波来自于高斯函数的第n阶导数。

物理学上的埃尔米特多项式定义为

${\displaystyle \ \ H_{m}(x)=(-1)^{m}e^{x^{2}}{\frac {d^{m}}{dx^{m}}}e^{-x^{2}}\,\!}$

可以用递回方式得到:

${\displaystyle H_{0}(x)=1}$

${\displaystyle H_{1}(x)=2x}$

${\displaystyle H_{m+1}(x)=2xH_{m}(x)-2mH_{m-1}(x),m=1,2,3....}$

连续小波转换的母小波可以表示成

${\displaystyle \psi _{a,b}(x)={1 \over {\sqrt {a}}}\psi \left({{t-b} \over a}\right)}$ ，其中a是膨胀参数，b是位移， a,b∈R且 a≠0

若${\displaystyle a=2^{-k}}$ ，${\displaystyle b=n2^{-k}}$，则变成具有离散参数的小波转换:

${\displaystyle \psi _{k,n}(x)={2^{k \over 2}}\psi \left({2^{k}x-n}\right)}$，其中k,n∈R

埃尔米特小波的母小波定义为 ${\displaystyle \psi _{n,m}(x)=\psi (k,n,m,x)}$，包含四个参数，其中k是任意正整数，影响母小波的缩放，${\displaystyle n=1,2,...2^{k-1}\ }$ 影响母小波的平移位置，m是埃尔米特多项式的阶层，其定义在[0,1)，数学式如下:

${\displaystyle \psi _{n,m}(x)={\begin{cases}2^{k \over 2}{\sqrt {1 \over {n!2^{n}{\sqrt {\pi }}}}}H_{m}(2^{k}x-2n+1)\ \ ,{\frac {n-1}{2^{k-1}}}\leq x<{\frac {n}{2^{k-1}}}\\0\ \ ,otherwise\end{cases}}}$

参考文献

• M.R. Walton and H.E. Hanrahan (1993), Hermite wavelets for multicarrier data transmission
• Muhammad Usman and Syed Tauseef Mohyud-Din(2013), Physicists Hermite wavelet method for singular differential equations （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Umer Saeed and Mujeeb ur Rehman(2014), Hermite Wavelet Method for Fractional Delay Differential Equations （页面存档备份，存于互联网档案馆）