卡诺定理 (内切圆、外接圆)

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设ABC为三角形，O为其外心。则O到ABC各边的距离之和为

${\displaystyle OO_{A}+OO_{B}+OO_{C}=R+r}$，

${\displaystyle {\begin{aligned}&{}\qquad DG+DH+DF\\&{}=|DG|+|DH|-|DF|\\&{}=R+r\end{aligned}}}$

其中r为内切圆半径，R为外接圆半径。这个定理叫做卡诺定理（法语：Théorème de Carnot），以拉扎尔·卡诺为名。

引理

在${\displaystyle \triangle ABC}$中，${\displaystyle R}$为${\displaystyle \triangle ABC}$之外接圆半径，且${\displaystyle r}$为${\displaystyle \triangle ABC}$之内切圆半径，则

${\displaystyle r=4R\sin({\frac {A}{2}})\sin({\frac {B}{2}})\sin({\frac {C}{2}})}$

证明

假设${\displaystyle \triangle ABC}$为锐角三角形，${\displaystyle D}$为${\displaystyle \triangle ABC}$之外接圆圆心，${\displaystyle D}$至${\displaystyle \triangle ABC}$三边之距离分别为${\displaystyle {\overline {DG}}}$、${\displaystyle {\overline {DH}}}$、${\displaystyle {\overline {DF}}}$，其中${\displaystyle {\overline {DG}}}$为${\displaystyle D}$至${\displaystyle {\overline {AB}}}$之距离，${\displaystyle {\overline {DH}}}$为${\displaystyle D}$至${\displaystyle {\overline {BC}}}$之距离，${\displaystyle {\overline {DF}}}$为${\displaystyle D}$至${\displaystyle {\overline {AC}}}$之距离。连接${\displaystyle D}$与${\displaystyle B}$，在${\displaystyle \triangle HDB}$中，根据三角形外心性质，可以得到

${\displaystyle {\overline {DB}}=R}$

${\displaystyle \angle {HDB}=\angle {A}}$

所以，可以得到${\displaystyle {\overline {DH}}}$的表示式，

${\displaystyle {\overline {DH}}=R\cos(A)}$

同理，亦可得到${\displaystyle {\overline {DG}}}$和${\displaystyle {\overline {DF}}}$的表示式，

${\displaystyle {\overline {DG}}=R\cos(C)}$

${\displaystyle {\overline {DF}}=R\cos(B)}$

因此，

${\displaystyle {\overline {DG}}+{\overline {DH}}+{\overline {DF}}\,}$

${\displaystyle =R(\cos(A)+\cos(B)+\cos(C))\,}$

${\displaystyle =R(2\cos({\frac {A+B}{2}})\cos({\frac {A-B}{2}})+1-2\sin ^{2}({\frac {C}{2}}))\,}$

${\displaystyle =R(2\cos({\frac {\pi -C}{2}})\cos({\frac {A-B}{2}})+1-2\sin({\frac {\pi -(A+B)}{2}})\sin({\frac {C}{2}}))\,}$

${\displaystyle =R(2\sin({\frac {C}{2}})\cos({\frac {A-B}{2}})+1-2\cos({\frac {(A+B)}{2}})\sin({\frac {C}{2}}))\,}$

${\displaystyle =R(2\sin({\frac {C}{2}})(\cos({\frac {A-B}{2}})-\cos({\frac {(A+B)}{2}}))+1)\,}$

${\displaystyle =R(4\sin({\frac {A}{2}})\sin({\frac {B}{2}})\sin({\frac {C}{2}})+1)\,}$

${\displaystyle =4R\sin({\frac {A}{2}})\sin({\frac {B}{2}})\sin({\frac {C}{2}})+R\,}$

根据引理，即可得证，

${\displaystyle {\overline {DG}}+{\overline {DH}}+{\overline {DF}}=R+r}$

此外，若${\displaystyle \triangle ABC}$为钝角三角形，且${\displaystyle \angle {B}}$大于${\displaystyle 90}$度，其余符号假设均与上面相同，则可以得到，

${\displaystyle {\overline {DH}}=R\cos(A)\,}$

${\displaystyle {\overline {DF}}=R\cos(\pi -B)=-R\cos(B)\,}$

${\displaystyle {\overline {DG}}=R\cos(C)\,}$

所以，

${\displaystyle {\overline {DG}}+{\overline {DH}}-{\overline {DF}}\,}$

${\displaystyle =R(\cos(A)+\cos(B)+\cos(C))\,}$

${\displaystyle =R+r\,}$

故得证卡诺定理。

参考资料

• Perrier, Frédéric. Carnot's Theorem in Trigonometric Disguise. The Mathematical Gazette. 2007-03, 91 (520): 115-117 [2023-05-15]. （原始内容存档于2020-10-20）.