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设ABC为三角形,O为其外心。则O到ABC各边的距离之和为

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其中r为内切圆半径,R为外接圆半径。这个定理叫做卡诺定理(法语:Théorème de Carnot),以拉扎尔·卡诺为名。

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引理

中,之外接圆半径,且之内切圆半径,则

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证明

假设为锐角三角形,之外接圆圆心,三边之距离分别为,其中之距离,之距离,之距离。连接,在中,根据三角形外心性质,可以得到

所以,可以得到的表示式,

同理,亦可得到的表示式,

因此,

根据引理,即可得证,

此外,若为钝角三角形,且大于度,其余符号假设均与上面相同,则可以得到,

所以,

故得证卡诺定理。

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参考资料

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