包络线

包络线（Envelope）是几何学里的概念，代表一条曲线与某个曲线族中的每条线都有至少一点相切。（曲线族即一些曲线的无穷集，它们有一些特定的关系。）

建立曲线族的包络线。

设一个曲线族的每条曲线${\displaystyle C_{s}}$可表示为${\displaystyle t\mapsto (x(s,t),y(s,t))}$，其中${\displaystyle s}$是曲线族的参数，${\displaystyle t}$是特定曲线的参数。若包络线存在，它是由${\displaystyle s\mapsto (x(s,h(s)),y(s,h(s)))}$得出，其中${\displaystyle h(s)}$以以下的方程求得：

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial h}}{\frac {\partial x}{\partial s}}={\frac {\partial y}{\partial s}}{\frac {\partial x}{\partial h}}}$

若曲线族以隐函数形式 ${\displaystyle F(x,y,s)=0}$ 表示，其包络线的隐方程，便是求下面两个方程的解x和y之隐函数关系。

${\displaystyle {\begin{cases}F(x,y,s)=0\\{\frac {\partial F(x,y,s)}{\partial s}}=0\end{cases}}}$

绣曲线是包络线的例子。直线族${\displaystyle (A-s)x+sy=(A-s)(s)}$（其中${\displaystyle A}$是常数，${\displaystyle s}$是直线族的变数）的包络线为抛物线。[1] （页面存档备份，存于互联网档案馆）

证明

设曲线族的每条曲线${\displaystyle C_{s}}$为${\displaystyle t\mapsto (x(s,t),y(s,t))}$。

设存在包络线。由于包络线的每点都与曲线族的其中一条曲线的其中一点相切，对于任意的${\displaystyle s}$，设${\displaystyle (x(s,h(s)),y(s,h(s)))}$表示${\displaystyle C_{s}}$和包络线相切的那点。由此式可见，${\displaystyle s}$是包络线的变数。要求出包络线，就即要求出${\displaystyle h(s)}$。

在${\displaystyle C_{s}}$的切向量为${\displaystyle <{\frac {\partial x}{\partial t}},{\frac {\partial y}{\partial t}}>}$，其中${\displaystyle t=h(s)}$。

在E的切向量为${\displaystyle <{\frac {dx}{ds}},{\frac {dy}{ds}}>}$。因为${\displaystyle x}$是${\displaystyle s}$和${\displaystyle t}$的函数，而此处${\displaystyle t=h(s)}$，局部求导有：

${\displaystyle {\frac {dx}{ds}}={\frac {\partial x}{\partial h}}{\frac {dh}{ds}}+{\frac {\partial x}{\partial s}}{\frac {ds}{ds}}={\frac {\partial x}{\partial h}}h'(s)+{\frac {\partial x}{\partial s}}}$

类似地得 ${\displaystyle {\frac {dy}{ds}}={\frac {\partial y}{\partial h}}h'(s)+{\frac {\partial y}{\partial s}}}$。

因为${\displaystyle E}$和${\displaystyle C_{s}}$在该点相切，因此其切向量应平行，故有

${\displaystyle {\frac {\partial x}{\partial t}}=\lambda ({\frac {\partial x}{\partial h}}h'(s)+{\frac {\partial x}{\partial s}})}$

${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial t}}=\lambda ({\frac {\partial y}{\partial h}}h'(s)+{\frac {\partial y}{\partial s}})}$

其中${\displaystyle \lambda \neq 0}$。可用此两式消去${\displaystyle h'(s)}$。整理后得： ${\displaystyle {\frac {\partial y}{\partial h}}{\frac {\partial x}{\partial s}}={\frac {\partial y}{\partial s}}{\frac {\partial x}{\partial h}}}$

参考

• https://web.archive.org/web/20070621035057/http://www.math.neu.edu/~bridger/Envelope/envelope.htm

参见

• 克莱罗方程

外部链接

• Special Plane Curves: Envelope （页面存档备份，存于互联网档案馆）
• Envelopes of Lines and Circles （页面存档备份，存于互联网档案馆）