刘维尔函数

此条目介绍的是数论中的刘维尔函数。关于名为Liouvillian function的函数，请见“刘维尔函数 (微积分)”。

刘维尔函数（Liouville function）${\displaystyle \lambda (n)}$是算术函数。对于正整数n，

${\displaystyle \lambda (n)=(-1)^{\Omega (n)}}$

其中${\displaystyle \Omega (n)}$表示${\displaystyle n}$的质因子数目（可重复）（${\displaystyle \Omega (n)}$表示素数Omega函数（英语：Prime_omega_function））。因为${\displaystyle \Omega (n)}$是完全加性函数，所以${\displaystyle \lambda (n)}$是完全积性函数。（OEIS:A008836）

${\displaystyle \sum _{d|n}\lambda (d)={\begin{cases}1\\0\\\end{cases}}}$	若${\displaystyle n}$是平方数
	若${\displaystyle n}$非平方数。

对于狄利克雷卷积，${\displaystyle \lambda }$的逆函数为${\displaystyle |\mu (n)|}$，其中${\displaystyle \mu }$为默比乌斯函数。

λ和μ的关系还有：${\displaystyle \lambda (n)=\sum _{d^{2}|n}\mu \left({\frac {n}{d^{2}}}\right)}$

L(n)的图象，n=1 至 10000

1919年，乔治·波利亚猜想对于正整数${\displaystyle n>1}$，${\displaystyle L(n)=\sum _{k=1}^{n}\lambda (k)\leq 0}$。1980年，田中实（日语：田中實）找到反例${\displaystyle n=906150257}$。

参考

• http://eom.springer.de/L/l059620.htm（页面存档备份，存于互联网档案馆）