分段

在数学中，分段定义的函数称为分段函数，是由多个子函数而定义的，施加到主函数的域的一定的时间间隔的每个子函数（子域）。分段实际上是一种表达函数的方式，而不是函数本身的一个特征，但是具有额外的限定，可以描述函数的本质。例如，分段多项式函数是在其每个子域上是多项式的函数，但是每个子域上可能是不同的。 字分段也用来描述适用于每件分段定义的函数的任何属性，但不一定保持为函数的整个域。一个函数是分段微分的或分段连续微分的，如果每个子块在整个子域内是可区分的，即使整个函数在块之间的点上可能是不可区分的。在凸分析中，导数的概念可以被分段函数的子导数的概念取代。尽管分段定义中的“块”不一定是间隔，但是除非是间隔，否则函数不被称为分段线性、分段连续或分段可微。

符号和解释

绝对值函数${\displaystyle y=|x|}$的图形

分段函数使用通用函数表示法来定义，其中函数的主体是函数和相关子域的数组。至关重要的是，在大多数情况下，只有有限数量的子域，每个子域必须是一个区间，以便将整个函数称为分段。例如，考虑绝对值函数的分段定义：

${\displaystyle |x|={\begin{cases}-x,&{\mbox{if }}x<0\\x,&{\mbox{if }}x\geq 0\end{cases}}}$

对于${\displaystyle x}$小于零的所有值，使用第一个函数（${\displaystyle -x}$），它将取消输入值的符号，使负数为正数。对于x大于或等于零的所有值，使用第二个函数（${\displaystyle x}$），它对输入值本身进行简单计算。 考虑分段函数${\displaystyle f(x)}$在${\displaystyle x}$的特定值处计算：

${\displaystyle x}$	${\displaystyle f(x)}$	使用的函数
-3	3	${\displaystyle -x}$
-0.1	0.1	${\displaystyle -x}$
0	0	${\displaystyle x}$
${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle x}$
5	5	${\displaystyle x}$

连续性

在${\displaystyle x_{0}}$两侧由不同二次函数组成的分段函数

如果满足以下条件，则分段函数在给定的时间间隔内是连续的：

• 它在整个间隔中被定义。
• 其构成函数在该间隔上是连续的。
• 在该区间内的子域的每个端点处不存在不连续性。

例如，图中的函数在其子域中是分段连续的，但在整个域中是不连续的。图中的函数包含跳跃不连续性${\displaystyle x_{0}}$。

应用

在应用的数学分析中，已经发现分段函数与人类视觉系统的许多模型一致，其中在第一阶段将图像感知为包括由边缘分隔的平滑区域。特别是，剪切片已经被用作表示系统来提供2D和3D中该模型类的稀疏近似。

常见示例

分段函数的具体实例包括：

• 阶跃函数，由常量函数组成的分段函数。
  • Boxcar 函数
  • 单位阶跃函数
  • 符号函数
• Piecewise linear function，由线段组成的分段函数。
  • 绝对值
• 破碎的幂定律，由幂定律组成的分段函数。
• 样条函数，由多项式函数组成的分段函数，在多项式片段连接处具有高度的平滑度。
  • B-样条
• PDIFF