准周期函数

在数学上准周期函数（Quasiperiodic function）是指一个函数有类似周期函数的性质^[1]，但不满足严格的周期函数。更准确的说法，一函数为${\displaystyle f}$为 准周期函数，且有准周期${\displaystyle \omega }$若${\displaystyle f(z+\omega )=g(z,f(z))}$

其中${\displaystyle g}$是一个比${\displaystyle f}$简单的函数，注意此处的“简单”是一个模糊的概念。

函数f(x)=x/2π+sin(x)满足f(x+2π)=f(x)+1，因此是算术准周期函数

一个简单的例子（有些称为算术准周期）为其函数满足下式；

${\displaystyle f(z+\omega )=f(z)+C}$

另一个的例子（有些称为几何准周期）为其函数满足下式；

${\displaystyle f(z+\omega )=Cf(z)}$

以下是Θ函数

${\displaystyle \vartheta (z+\tau ;\tau )=e^{-2\pi iz-\pi i\tau }\vartheta (z;\tau ),}$

针对固定的τ，其准周期即为τ，此函数也有另一个周期1。另一个例子是魏尔施特拉斯Σ函数（英语：Weierstrass sigma function），有二个独立的准周期，也就是对应魏尔斯特拉斯椭圆函数的周期。

符合以下泛函方程式的函数

${\displaystyle f(z+\omega )=f(z)+az+b\ }$

也是准周期函数，例如针对定值η的魏尔施特拉斯Ζ函数（英语：Weierstrass zeta function）

${\displaystyle \zeta (z+\omega )=\zeta (z)+\eta \ }$

其中ω为对应魏尔斯特拉斯椭圆函数的周期。

若${\displaystyle f(z+\omega )=f(z)\ }$，则f称为周期函数，其周期为ω。.

准周期信号

在音响处理中的准周期信号（Quasiperiodic signals）不是上述定义的准周期函数，而是那些有概周期函数（almost periodic functions）特性的信号，因此无法用数学上的准周期性性质来处理这类的信号。

一个常见的例子为以下函数：

${\displaystyle f(z)=\sin(Az)+\sin(Bz)}$

若比值A/B为有理数，此函数有真正的周期，但若A/B是无理数，此函数没有周期，但有渐渐越来越准确的“概周期”。

相关条目

• 准周期性（英语：Quasiperiodicity）
• 准周期运动（英语：Quasiperiodic motion）
• 概周期函数

参考资料

1. Mitropolsky, Yu A. Systems of Evolution Equations with Periodic and Quasiperiodic Coefficients. A. M. Samoilenko, D. I. Martinyuk. Dordrecht: Springer Netherlands. 1993: 108. ISBN 978-94-011-2728-8. OCLC 840309575 （英语）.

外部链接

• Quasiperiodic function at PlanetMath