等差数列

等差数列，又名算术数列（英语：Arithmetic sequence^{[註 1]}），是数列的一种。在等差数列中，任何相邻两项的差相等，该差值称为公差（common difference）。

例如数列：

3, 5, 7, 9, 11, 13, ...

就是一个等差数列。 在这个数列中，从第二项起，每项与其前一项之公差都相等。

性质

如果一个等差数列的首项记作 a₁，公差记作 d，那么该等差数列第 n 项 a_n 的一般项为：

${\displaystyle a_{n}=a_{1}+(n-1)d}$

换句话说，任意一个等差数列 {a_n} 都可以写成

${\displaystyle \{a\,,\,\,a+d\,,\,\,a+2d\,,\,\cdots \,,\,\,a+(n-1)d\}}$

在一个等差数列中，给定任意两相连项 a_n+1 和 a_n ，可知公差

${\displaystyle d=a_{n+1}-a_{n}}$

给定任意两项 a_m 和 a_n ，则有公差

${\displaystyle d={\frac {a_{m}-a_{n}}{m-n}}}$

此外，在一个等差数列中，选取某一项，该项的前一项与后一项之和，为原来该项的两倍。举例来说，a₁ + a₃ = 2a₂。

更一般地说，有：

${\displaystyle a_{n-1}+a_{n+1}=2a_{n}}$

证明如下：

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{n-1}+a_{n+1}&=[a+(n-2)d]+(a+nd)\\&=2a+(2n-2)d\\&=2[a+(n-1)d]\\&=2a_{n}\\\end{aligned}}}$

证毕。

从另一个角度看，等差数列中的任意一项，是其前一项和后一项的算术平均：

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-1}+a_{n+1}}{2}}}$

此结果从上面直接可得。

如果有正整数 m, n, p, q，使得 ${\displaystyle m+n=p+q}$，那么则有：

${\displaystyle a_{m}+a_{n}=a_{p}+a_{q}}$

证明如下：

${\displaystyle {\begin{aligned}a_{m}+a_{n}&=[a+(m-1)d]+[a+(n-1)d]\\&=2a+(m+n-2)d\\&=2a+(p+q-2)d\\&=[a+(p-1)d]+[a+(q-1)d]\\&=a_{p}+a_{q}\\\end{aligned}}}$

由此可将上面的性质一般化成：

${\displaystyle a_{n-k}+a_{n+k}=2a_{n}}$

${\displaystyle a_{n}={\frac {a_{n-k}+a_{n+k}}{2}}}$

其中 k 是一个小于 n 的整数。

给定一个等差数列 ${\displaystyle \{a_{n}\}}$，则有：

• ${\displaystyle \{b+a_{n}\}}$ 是一个等差数列。
• ${\displaystyle \{b\cdot a_{n}\}}$ 是一个等差数列。
• ${\displaystyle \{b^{a_{n}}\}}$ 是一个等比数列。
• ${\displaystyle \{{\frac {b}{a_{n}}}\}}$ 是一个等谐数列。

从等差数列的一般项可知，任意一个可以写成

${\displaystyle a_{n}=p+qn}$

形成的数列，都是一个等差数列，其中公差 d = q，首项 a = p + q。

等差数列和

一个等差数列的首 n 项之和，称为等差数列和（sum of arithmetic sequence）或算术级数（arithmetic series），记作 S_n。

举例来说，等差数列 {1, 3, 5, 7} 的和是 1 + 3 + 5 + 7 = 16。

等差数列求和的公式如下：

${\displaystyle {\begin{aligned}S_{n}&={\frac {n}{2}}\,(a+a_{n})\\&={\frac {n}{2}}[2a+(n-1)d]\\&=an+d\cdot {\frac {n(n-1)}{2}}\end{aligned}}}$

等差数列和在中文教科书中常表达为:

一个等差数列的和，等于其首项与末项的和，乘以项数除以2。

公式证明如下：

将等差数列和写作以下两种形式：

${\displaystyle S_{n}=a+(a+d)+(a+2d)+\dots +[a+(n-2)d]+[a+(n-1)d]}$

${\displaystyle S_{n}=[a_{n}-(n-1)d]+[a_{n}-(n-2)d]+\dots +(a_{n}-2d)+(a_{n}-d)+a_{n}}$

将两公式相加来消掉公差 d，可得

${\displaystyle \ 2S_{n}=n(a+a_{n})}$

整理可得第一种形式。

代入 ${\displaystyle a_{n}=a+(n-1)d}$，可得第二种及第三种形式。

从上面的第三种形式展开可见，任意一个可以写成

${\displaystyle S_{n}=pn+qn^{2}}$

形成的数列和，其原来数列都是一个等差数列，其中公差 d = 2q，首项 a = p + q。

等差数列积

一个等差数列的首 n 项之积，称为等差数列积（product of arithmetic sequence），记作 P_n。

举例来说，等差数列 {1, 3, 5, 7} 的积是 1 × 3 × 5 × 7 = 105。

等差数列积的公式较为复杂，须以Γ函数表示：

${\displaystyle P_{n}=d^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {a}{d}}+n)}{\Gamma ({\frac {a}{d}})}}}$

证明如下：

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{n}&=a\cdot (a+d)\cdot (a+2d)\cdot \cdots \cdot [a+(n-1)d]\\&=d^{n}\cdot \left({\frac {a}{d}}\right)\cdot \left({\frac {a}{d}}+1\right)\cdot \left({\frac {a}{d}}+2\right)\cdot \cdots \cdot \left[{\frac {a}{d}}+(n-1)\right]\\&=d^{n}\cdot {\left({\frac {a}{d}}\right)}^{\overline {n}}\\&=d^{n}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {a}{d}}+n)}{\Gamma ({\frac {a}{d}})}}\\\end{aligned}}}$

这里的 ${\displaystyle x^{\overline {n}}}$ 为 x 的 n 次上升阶乘幂，例子如 ${\displaystyle 1.1^{\overline {3}}=1.1\times 2.1\times 3.1}$ 。

使用上面的例子，对于数列 {1, 3, 5, 7} ：

${\displaystyle {\begin{aligned}P_{4}&=2^{4}\cdot {\frac {\Gamma ({\frac {1}{2}}+4)}{\Gamma ({\frac {1}{2}})}}\\&=16\cdot {\frac {11.6317\dots }{1.77245\dots }}\\&=105\end{aligned}}}$

结果相等。

参见

• 序列
• 数列
• 级数
• 算术平均
• 等比数列
• 等谐数列

注释

1. 也有人使用arithmetic progression，简称A.P.

参考文献

• Bhardwaj, S., Abiy, T., Kulkarni, O., et al. "Geometric Progressions." From Brilliant. https://brilliant.org/wiki/geometric-progressions/ （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Sequence." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSequence.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）.
• Weisstein, Eric W. "Geometric Series." From MathWorld--A Wolfram Web Resource. http://mathworld.wolfram.com/GeometricSeries.html （页面存档备份，存于互联网档案馆）.