全形 (数学)

在数学的群论中，一个群G的全形Hol(G)是一个特定的群，同时包含群G和其自同构群Aut(G)。群的全形可用半直积或交换群来描述。

以半直积描述

记群G的自同构群为Aut(G)，则G的全形Hol(G)是

${\displaystyle \operatorname {Hol} (G)=G\rtimes \operatorname {Aut} (G)}$

其中的外半直积是对于Aut(G)在G上的自然作用，因此全形上的运算如下：令${\displaystyle (g,\alpha ),(h,\beta )}$为Hol(G)的元，其中g, h是G的元，${\displaystyle \alpha ,\beta }$是G的自同构，则

${\displaystyle (g,\alpha )(h,\beta )=(g\alpha (h),\alpha \beta )}$。

以交换群描述

群G以左乘和右乘作用在自身的元素上，定义出两个从G到G上的对称群Sym(G)的群同态。左乘对应的群同态为

${\displaystyle \lambda :\ G\to \operatorname {Sym} (G)}$，${\displaystyle \lambda (g)(h)=g\cdot h}$；

右乘对应的群同态为

${\displaystyle \rho :\ G\to \operatorname {Sym} (G)}$，${\displaystyle \rho (g)(h)=h\cdot g^{-1}}$。

这两个群同态称为G的左及右正规表示，并且都是单射（凯莱定理）。换言之，G同构于${\displaystyle \lambda (G)}$和${\displaystyle \rho (G)}$。G的全形${\displaystyle \operatorname {Hol} (G)}$是${\displaystyle \lambda (G)}$在${\displaystyle \operatorname {Sym} (G)}$中的正规化子。

参考

• Hall, Marshall, Jr., The theory of groups, Macmillan, 1959, MR0103215