伊藤引理

在随机分析中，伊藤引理（Ito's lemma）是一条非常重要的性质。发现者为日本数学家伊藤清，他指出了对于一个随机过程的函数作微分的规则。

伊藤引理较早版本

第一引理

对于布朗运动${\displaystyle W_{t}}$和二次可导函数${\displaystyle f(x)}$，以下等式成立：

${\displaystyle df(W_{t})=f'(W_{t})dW_{t}+{\frac {1}{2}}f''(W_{t})dt}$

其中过程：

${\displaystyle dtdt=0,dtdW_{t}=dW_{t}dt=0,dW_{t}dW_{t}=dt}$

其主要可通过对多项式环到形式幂级数的拓展，例如：

${\displaystyle de^{W_{t}^{2}}=2W_{t}e^{W_{t}^{2}}dW_{t}+(e^{W_{t}^{2}}+2W_{t}^{2}e^{W_{t}^{2}})dt}$

第二引理

对于伊藤过程${\displaystyle X_{t}}$和二次可导函数${\displaystyle f(t,x)}$，以下等式成立

${\displaystyle df(t,X_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+{\frac {\partial f}{\partial x}}dX_{t}}$

第三引理

定义伊藤过程${\displaystyle X_{t}}$为满足下列随机微分方程的随机过程

${\displaystyle dX_{t}=\mu _{t}\,dt+\sigma _{t}\,dW_{t}}$

对于伊藤过程${\displaystyle X_{t}}$和二次可导函数${\displaystyle f(t,x)}$，以下等式成立：

${\displaystyle df(t,X_{t})=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}+{\frac {1}{2}}\sigma _{t}^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial x^{2}}}\right)dt+\sigma _{t}{\frac {\partial f}{\partial x}}\,dW_{t}.}$

类似地，定义多维伊藤过程${\displaystyle \mathbf {X} _{t}=(X_{t}^{1},X_{t}^{2},\ldots ,X_{t}^{n})^{T}}$使得

${\displaystyle d\mathbf {X} _{t}={\boldsymbol {\mu }}_{t}\,dt+\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}}$

其中${\displaystyle {\boldsymbol {\mu }}_{t}}$为n维向量，${\displaystyle \mathbf {G} _{t}}$为n阶方块矩阵；有如下等式：

${\displaystyle {\begin{aligned}df(t,\mathbf {X} _{t})&={\frac {\partial f}{\partial t}}\,dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\,d\mathbf {X} _{t}+{\frac {1}{2}}\left(d\mathbf {X} _{t}\right)^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\,d\mathbf {X} _{t},\\&=\left\{{\frac {\partial f}{\partial t}}+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}{\boldsymbol {\mu }}_{t}+{\frac {1}{2}}\operatorname {Tr} \left[\mathbf {G} _{t}^{T}\left(H_{\mathbf {X} }f\right)\mathbf {G} _{t}\right]\right\}dt+\left(\nabla _{\mathbf {X} }f\right)^{T}\mathbf {G} _{t}\,d\mathbf {B} _{t}\end{aligned}}}$

其中，${\displaystyle \nabla _{\mathbf {X} }f}$是f关于X的梯度，H_X f 是f关于X的黑塞矩阵，Tr是迹的符号。

到半鞅的拓展

^{[需要定义]}

连续半鞅

${\displaystyle df(X_{t})=\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{t})\,dX_{t}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{t})\,d[X^{i},X^{j}]_{t}.}$

不连续半鞅

${\displaystyle {\begin{aligned}f(X_{t})=&f(X_{0})+\sum _{i=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i}(X_{s-})\,dX_{s}^{i}+{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}\int _{0}^{t}f_{i,j}(X_{s-})\,d[X^{i},X^{j}]_{s}\\&{}+\sum _{s\leq t}\left(\Delta f(X_{s})-\sum _{i=1}^{d}f_{i}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}-{\frac {1}{2}}\sum _{i,j=1}^{d}f_{i,j}(X_{s-})\,\Delta X_{s}^{i}\,\Delta X_{s}^{j}\right).\end{aligned}}}$

泊松过程

我们也可以定义非连续随机过程的函数。

定义跳跃强度h，根据跳跃的泊松过程模型，在区间${\displaystyle [t,\ t+\Delta t]}$上出现一次跳跃的概率是${\displaystyle h\Delta t}$ 加上${\displaystyle \Delta t}$的高阶无穷小量。h可以是常数、显含时间的确定性函数，或者是随机过程。在区间${\displaystyle [0,t]}$上没有跳跃的概率称为生存概率${\displaystyle p_{s}(t)}$，其变化是：

${\displaystyle dp_{s}(t)=-p_{s}(t)h(t)\,dt.}$

因此生存概率为：

${\displaystyle p_{s}(t)=\exp \left(-\int _{0}^{t}h(u)\,du\right).}$

定义非连续随机过程${\displaystyle S(t)}$，并把${\displaystyle S(t^{-})}$记为从左侧到达t时S的值，记${\displaystyle d_{j}S(t)}$是一次跳跃导致${\displaystyle S(t)}$的非无穷小变化。有：

${\displaystyle d_{j}S(t)=\lim _{\Delta t\to 0}(S(t+\Delta t)-S(t^{-}))}$

${\displaystyle \eta (S(t^{-}),z)}$是跳跃幅度z的概率分布，跳跃幅度的期望是：

${\displaystyle E[d_{j}S(t)]=h(S(t^{-}))\,dt\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz.}$

定义补偿过程和鞅${\displaystyle dJ_{S}(t)}$：

${\displaystyle dJ_{S}(t)=d_{j}S(t)-E[d_{j}S(t)]=S(t)-S(t^{-})-(h(S(t^{-}))\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz)\,dt.}$

因此跳跃的非无穷小变化，也就是随机过程的跳跃部分可以写为：

${\displaystyle d_{j}S(t)=E[d_{j}S(t)]+dJ_{S}(t)=h(S(t^{-}))(\int _{z}z\eta (S(t^{-}),z)\,dz)dt+dJ_{S}(t).}$

因此如果随机过程${\displaystyle S}$同时包含漂移、扩散、跳跃三部分，可以写为：

${\displaystyle dS(t)=\mu dt+\sigma dW(t)+d_{j}S(t).}$

考虑其函数${\displaystyle g(S(t),t)}$。${\displaystyle S(t)}$跳跃${\displaystyle \Delta s}$的幅度，会导致${\displaystyle g(t)}$跳跃${\displaystyle \Delta g}$幅度。${\displaystyle \Delta g}$取决于g的跳跃分布${\displaystyle \eta _{g}()}$，有可能依赖于跳跃前的函数值${\displaystyle g(t^{-})}$，函数微分dg以及跳跃前的自变量值${\displaystyle S(t^{-})}$。${\displaystyle g}$的跳跃部分是：

${\displaystyle {\begin{aligned}g(t)-g(t^{-})&=h(t)\,dt\int _{\Delta g}\,\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d\Delta g+dJ_{g}(t).\end{aligned}}}$

函数${\displaystyle g(S(t),t)}$的伊藤引理是：

${\displaystyle {\begin{aligned}dg(t)&=\left({\frac {\partial g}{\partial t}}+\mu {\frac {\partial g}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}{\frac {\partial ^{2}g}{\partial S^{2}}}+h(t)\int _{\Delta g}(\Delta g\eta _{g}(\cdot )\,d{\Delta }g)\,\right)dt+{\frac {\partial g}{\partial S}}\sigma \,dW(t)+dJ_{g}(t).\end{aligned}}}$

可以看到，漂移-扩散过程与跳跃过程之和的伊藤引理，恰恰是各自部分伊藤引理的和。

应用例子

布莱克-舒尔兹模型

伊藤引理可以用于推导布莱克-舒尔兹模型。假设一支股票的价格服从几何布朗运动${\displaystyle dS=\mu Sdt+\sigma SdW}$，且其期权的价格是股票价格和时间的函数${\displaystyle V=f(t,S)}$。根据伊藤引理，有

${\displaystyle df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+\mu S{\frac {\partial f}{\partial S}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+\sigma S{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dW}$

整理可得

${\displaystyle df=\left({\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS}$

式中${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS}$项表明期权价格的波动等于持有${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial S}}}$单位股票时的波动。在这个对应下，现金的部分应该以无风险利率${\displaystyle r}$增长，即

${\displaystyle df=r\left(f-S{\frac {\partial f}{\partial S}}\right)\,dt+{\frac {\partial f}{\partial S}}\,dS}$

比较两式${\displaystyle dt}$项的系数，可得

${\displaystyle {\frac {\partial f}{\partial t}}+{\frac {1}{2}}\sigma ^{2}S^{2}{\frac {\partial ^{2}f}{\partial S^{2}}}+rS{\frac {\partial f}{\partial S}}-rf=0}$

参看

• 费曼－卡茨公式

参考资料

• Ito, K. (1944): Stochastic integral. Proc. Imp. Acad. Tokyo 20, 519-524.
• PROTTER, P. (1990): Stochastic Integration and Differential Equations. Springer-Verlag, Berlin.
• Black, F. & Scholes, M. (1973) :The pricing of options and corporate liabilities. J. Polit. Economy