特征多项式

提示：此条目的主题不是特征方程式。

在线性代数中，对一个线性自同态（取定基即等价于方阵）可定义其特征多项式，此多项式包含该自同态的一些重要性质，例如行列式、迹数及特征值。

定义

设 ${\displaystyle \mathbb {F} }$ 为域（例如实数或复数域），对布于 ${\displaystyle \mathbb {F} }$ 上的 ${\displaystyle n\times n}$ 矩阵 ${\displaystyle A}$，定义其特征多项式为

${\displaystyle p_{A}(t):=\det(tI_{n}-A)\in \mathbb {F} [t]}$

这是一个 ${\displaystyle n}$ 次多项式，其首项系数为一。

一般而言，对布于任何交换环上的方阵都能定义特征多项式。

性质

当 ${\displaystyle A}$ 为上三角矩阵（或下三角矩阵）时，${\displaystyle p_{A}(t)=\prod _{i=1}^{n}(t-\lambda _{i})}$，其中 ${\displaystyle \lambda _{1},\ldots ,\lambda _{n}}$ 是主对角线上的元素。

对于二阶方阵，特征多项式能表为 ${\displaystyle p_{A}(t)=t^{2}-\mathrm {tr} (A)t+\det(A)}$。一般而言，若 ${\displaystyle p_{A}(t)=t^{n}+a_{n-1}t^{n-1}+\ldots +a_{0}}$，则 ${\displaystyle a_{0}=(-1)^{n}\det(A)}$，${\displaystyle a_{n-1}=-\mathrm {tr} (A)}$。

此外：

• 特征多项式在基变更下不变：若存在可逆方阵 ${\displaystyle C}$ 使得 ${\displaystyle B=C^{-1}AC}$，则 ${\displaystyle p_{A}(t)=p_{B}(t)}$。
• 对任意两方阵 ${\displaystyle A,B}$，有 ${\displaystyle p_{AB}(t)=p_{BA}(t)}$。一般而言，若 ${\displaystyle A}$ 为 ${\displaystyle m\times n}$ 矩阵，${\displaystyle B}$ 为 ${\displaystyle n\times m}$ 矩阵（设 ${\displaystyle m<n}$），则 ${\displaystyle p_{AB}(t)=t^{m-n}p_{BA}(t)}$
• 凯莱-哈密顿定理：${\displaystyle p_{A}(A)=0}$。