二元素布尔代数

二元素布尔代数是最简单的布尔代数，它只有二个元素，习惯指名为 1 和 0。保罗·哈尔莫斯给这个起名为 2，被一些文献和本文采用。

任何布尔代数都关联着叫做“全集”或“载体”的一个偏序集合 B，使得这个布尔代数的运算是从 Bn 到 B 的映射。这个载体是由于有显著的成员 0 和 1 而是有界的。2 简单的就是其载体同一于它的界的集合的布尔代数，即 B={0,1}。

布尔代数的二个二元运算有很多名字和符号。这里把它们叫做“和”与“积”，分别符号表示为中缀 + 和 ${\displaystyle \cdot \,}$。积经常指示为二个操作数的简单串联。和与积是交换的和结合的，如同普通的实数代数中那样。在运算次序上，${\displaystyle \cdot }$ 优先于 + 但是括号可以超越它。所以“A ${\displaystyle \cdot \,}$ B + C”被分析为“(A ${\displaystyle \cdot \,}$ B) + C”而非“A ${\displaystyle \cdot \,}$ (B + C)”。

一元运算总是被称为“补”，这里的符号表示是对参数放置上横杠。x 的补的数值类似者是 1-x。在泛代数的语言中，所有布尔代数是 ${\displaystyle \langle B,+,\cdot ,{\overline {..}},1,0\rangle }$ 代数，型为 ${\displaystyle \langle 2,2,1,0,0\rangle }$。

解释 0 和 1 中的一个为“真”另一个为“假”产生了经典的等式形式的二值逻辑。在这种情况下，+ 被读做或，${\displaystyle \cdot \,}$ 被读做与，而补被读做非。

参见

• 逻辑代数
• 卡诺图
• Quine-McCluskey算法

引用

Many elementary texts on Boolean algebra were published in the early years of the computer era. Perhaps the best of the lot, and one still in print, is:

• Mendelson, Elliot, 1970. Schaum's Outline of Boolean Algebra. McGraw-Hill.

The following items, more challenging than this entry, reveal how even the simplest nontrivial Boolean algebra is a rich mathematical subject.

• Stanford Encyclopedia of Philosophy："The Mathematics of Boolean Algebra,（页面存档备份，存于互联网档案馆）" by J. Donald Monk.
• Burris, Stanley N., and H.P. Sankappanavar, H. P., 1981. A Course in Universal Algebra.（页面存档备份，存于互联网档案馆） Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2.