三阶六边形镶嵌蜂巢体

在双曲几何学中，三阶六边形镶嵌蜂巢体又称三阶六边形镶嵌堆砌，是一种完全填满仿紧双曲空间的几何结构，是十一种三维仿紧正双曲密铺之一^[1]，由正六边形镶嵌的胞组成。由于其胞为一种无限面体，因此该几何结构为仿紧空间。

三阶六边形镶嵌蜂巢体
类型	双曲正堆砌
家族	堆砌
维度	三维双曲空间
对偶多胞形	六阶四面体堆砌
数学表示法
考克斯特符号 （英语：Coxeter-Dynkin diagram）	↔ ↔ ↔ ↔
施莱夫利符号	{6,3,3} t{3,6,3} 2t{6,3,6} 2t{6,3[3]} t{3[3,3]}
性质
胞	{6,3}
面	{6}
组成与布局
顶点图	{3,3}
对称性
对称群	${\displaystyle {\bar {V}}_{3}}$, [6,3,3] ${\displaystyle {\bar {Y}}_{3}}$, [3,6,3] ${\displaystyle {\bar {Z}}_{3}}$, [6,3,6] ${\displaystyle {\bar {VP}}_{3}}$, [6,3[3]] ${\displaystyle {\bar {PP}}_{3}}$, [3[3,3]]
特性
正
查 论 编

性质

三阶六边形镶嵌蜂巢体由无限多个正六边形镶嵌胞组成，每条棱都是三个正六边形镶嵌的公共棱，每个正六边形镶嵌胞的顶点都落在双曲极限球（英语：Horosphere）（双曲三维极限圆（英语：Horocycle））上。三阶六边形镶嵌蜂巢体的顶点图为正四面体，代表着三阶六边形镶嵌蜂巢体的每个顶点都是4个正六边形镶嵌的公共顶点。

三阶六边形镶嵌蜂巢体在施莱夫利符号计为 {6,3,3} ，其中 {6,3} 正六边形镶嵌，加一个3表示每条棱都是三个正六边形镶嵌的公共边。其顶点图为 {3,3} 正四面体^[3]。

图像

这个图像是一个三阶六边形镶嵌蜂巢体庞加莱模型的外视角，其显示了蜂巢体中的一个六边形镶嵌胞，其半径与极限球（英语：horosphere）相同。在这个投影图上，无限延伸的六边形朝向一个理想点不断趋近。

{6,3,3}	{∞,3}
蜂巢体中的其中一个六边形镶嵌胞	三阶无限边形镶嵌中的无限边形（绿色）及其外接圆极限圆（英语：horocycle）。

相关多胞体与堆砌

三阶六边形镶嵌蜂巢体是十一种三维仿紧正双曲密铺之一，其他十种三维仿紧正双曲密铺为：

十一种三维仿紧正双曲密铺
{6,3,3} （镶嵌蜂巢体）	{6,3,4}（英语：Order-4 hexagonal tiling honeycomb） （镶嵌蜂巢体）	{6,3,5}（英语：Order-5 hexagonal tiling honeycomb） （镶嵌蜂巢体）	{6,3,6}（英语：order-6 hexagonal tiling honeycomb） （镶嵌蜂巢体）	{4,4,3}（英语：Square tiling honeycomb） （镶嵌蜂巢体）	{4,4,4}（英语：Order-4_square_tiling_honeycomb） （镶嵌蜂巢体）
{3,3,6} （多面体堆砌）	{4,3,6}（英语：order-6 cubic honeycomb） （多面体堆砌）	{5,3,6}（英语：Order-6 dodecahedral honeycomb） （多面体堆砌）	{3,6,3}（英语：Triangular tiling honeycomb） （镶嵌蜂巢体）	{3,4,4}（英语：Order-4 octahedral honeycomb） （镶嵌蜂巢体）

参考文献

1. Jeffrey R. Weeks The Shape of Space, 2nd edition ISBN 0-8247-0709-5 (Chapters 16–17: Geometries on Three-manifolds I,II)
2. N. W. Johnson, R. Kellerhals, J. G. Ratcliffe, S. T. Tschantz, The size of a hyperbolic Coxeter simplex, Transformation Groups (1999), Volume 4, Issue 4, pp 329–353 [1]（页面存档备份，存于互联网档案馆） [2]
3. N. W. Johnson, R. Kellerhals, J. G. Ratcliffe, S. T. Tschantz, Commensurability classes of hyperbolic Coxeter groups, (2002) H³: p130. [3]（页面存档备份，存于互联网档案馆）

1. Coxeter, Regular Polytopes, 3rd. ed., Dover Publications, 1973. ISBN 0-486-61480-8. (Tables I and II: Regular polytopes and honeycombs, pp. 294–296)
2. The Beauty of Geometry: Twelve Essays (1999), Dover Publications,

   LCCN 99-35678

   , ISBN 0-486-40919-8 (Chapter 10, Regular Honeycombs in Hyperbolic Space) Table III
3. Coxeter The Beauty of Geometry, 1999,^[2], Chapter 10, Table III