用户:AnthonyDonlon/wip/多重对数函数
维基百科,自由的 encyclopedia
在数学中,多重对数函数(英语:polylogarithm,也称为 Jonquière 函数)是一类有着阶数 s 和参数 z 的特殊函数Lis(z)。只有当 s 为特殊值时,多重对数函数才退化为初等函数(如自然对数或有理函数)。在量子统计中,多重对数函数可作为费米–狄拉克分布和玻色–爱因斯坦分布的积分的闭式解,也因此被称为费米–狄拉克积分或玻色–爱因斯坦积分。在量子电动力学中,正整数阶的多重对数函数出现的计算程序表示高阶费曼图。
多重对数函数与赫尔维茨ζ函数等价,二者可以相互表示,且都是勒奇超越函数的特例。多重对数函数不应与多对数函数或对数积分混淆,尽管它们有相似的记号,但后者只有一个变量。
-
Li−3(z)
-
Li−2(z)
-
Li−1(z)
-
Li0(z)
-
Li1(z)
-
Li2(z)
-
Li3(z)
多重对数函数由关于 z 的幂级数定义,这个级数也是关于 s 的狄利克雷级数:
在阶数 s 为任意复数且复数参数 |z| < 1 时,这个定义有效。但这个式子也可被解析延拓至 |z| ≥ 1 上。在s = 1 的特殊情况下,多重对数函数将与自然对数有关,Li1(z) = -ln(1-z),而在特殊情况 s = 2 和 s = 3 时,多重对数函数则变为二重对数函数(也称为斯盆司函数)和三重对数函数。双重对数函数的名称来自于它能被定义为它自身的积分这一性质:
这样,二重对数函数(s = 2)就是与对数有关的函数的积分,依此类推。对于非正的整数阶数s,多重对数函数是一个有理函数。