在数学里，尤其是组合数学和特殊函数领域，一个定理、等式或者表达式的q-模拟是指在引入一个新的参数q后当q→1时原定理、等式或表达式的极限。最早地研究得较为深入的q-模拟是 19世纪[1]被引入的基本超几何级数。
q-模拟在包括分形、多重分形, 混沌动力系统的熵表达在内的多个研究领域都有应用。另外，在量子群 和 q-变形 代数的研究中也有应用。
"经典" q-模拟开始于莱昂哈德·欧拉的研究工作，后来由F. H. Jackson[2] 以及其他人[3]所扩展。
经典 q-理论开始于非负整数的q-模拟。[3] 等式
表示定义n的q-模拟为
![{\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54905ab6a45450b4e798ef991a9f7c6cd65711db)
阶乘的q-模拟，称作q-阶乘，被定义为
![{\displaystyle {\big [}n]_{q}!}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a097aaffa2be195615f6d0e6bb664885783a32)
![{\displaystyle =[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e8cdf5afe5c6b36ae31a37387a12e3a97a9abc7)
[n]q! 表示逆序对的数目。如果 inv(w)表示全排列w 的逆序对，Sn表示n全排列的集合, 则有
![{\displaystyle \sum _{w\in S_{n}}q^{{\text{inv}}(w)}=[n]_{q}!.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4252d6492812e127a6fd91f3dba0c85d9b6f58ab)
特别地, 当取极限
时就得到一般的阶乘公式。
根据q-阶乘, 可以定义 q-二项式系数, 也被称作高斯系数, 高斯多项式, 或高斯二项式系数:
![{\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2d350cdfdff22544fac702c5d397578cde0d44)
q-指数定义为:
![{\displaystyle e_{q}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5943d719a2f4615fdd2a4a3da4cbd362260756)
高斯二项式系数计算一个有限维向量空间的子空间数。令q表示一个有限域里的元素数目，则在q元有限域上n维向量空间的k维子空间数等于
当q等于1时, 得到二项式系数
F. H. Jackson (1908), "On q-functions and a certain difference operator", Trans. Roy. Soc. Edin., 46 253-281.
Ernst, Thomas. A Method for q-calculus (PDF). Journal of Nonlinear Mathematical Physics. 2003, 10 (4): 487–525 [2011-07-27]. （原始内容存档 (PDF)于2012-03-28）.
![{\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}=1+q+q^{2}+\ldots +q^{n-1}.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/54905ab6a45450b4e798ef991a9f7c6cd65711db)
![{\displaystyle {\big [}n]_{q}!}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/07a097aaffa2be195615f6d0e6bb664885783a32)
![{\displaystyle =[1]_{q}\cdot [2]_{q}\cdots [n-1]_{q}\cdot [n]_{q}}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4e8cdf5afe5c6b36ae31a37387a12e3a97a9abc7)
![{\displaystyle \sum _{w\in S_{n}}q^{{\text{inv}}(w)}=[n]_{q}!.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/4252d6492812e127a6fd91f3dba0c85d9b6f58ab)
![{\displaystyle {\binom {n}{k}}_{q}={\frac {[n]_{q}!}{[n-k]_{q}![k]_{q}!}}.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/9e2d350cdfdff22544fac702c5d397578cde0d44)
![{\displaystyle e_{q}^{x}=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {x^{n}}{[n]_{q}!}}.}](http://wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/ab5943d719a2f4615fdd2a4a3da4cbd362260756)
