在数学 中，1 − 2 + 4 − 8 + … 是一个无穷级数 ，它的每一项都是2的幂 而加减号则是交错地排列。作为几何级数, 它以 1 为首项，-2为公比。
∑
k
=
0
n
(
−
2
)
k
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}(-2)^{k}}
作为实数 级数，它发散 到无穷，所以在一般意义下它的和不存在。在更广泛的意义下，这一级数有一个广义的和为⅓。
戈特弗里德·莱布尼茨 于1673年已经细想过1 − 2 + 4 − 8 + … 这个交替的发散级数。他认为经过从右边或左边相减，分别可以得到正无限 及负无限，所以两个答案都是错的，而整个级数必为有限：
"如果两个结论里没有一个是可被接受的，或者说因为无法判断哪个结论可被接受，自然一般会选择处在两个结论中间的结论，所以这个级数和是一个有限数。" 莱布尼兹并不是非常肯定这个级数有和 ，但是他根据墨卡托方法推测它和⅓有关系。[ 1] [ 2]
当克里斯提安·沃尔夫 在1712年阅读了莱布尼兹对格兰迪级数 的解法后，[ 3] 1 − 2 + 4 − 8 + 16 − … ）。简明地说,如果某人以倒数第二项的函数来表示级数的部分和的话，他得到的结果会是
4
m
+
1
3
{\displaystyle {\tfrac {4m+1}{3}}}
−
4
n
+
1
3
{\displaystyle {\tfrac {-4n+1}{3}}}
2
m
−
2
n
+
1
3
{\displaystyle {\tfrac {2m-2n+1}{3}}}
m = n n = 2m n = m 1 − 1 + 1 − 1 + … 也可以被表示成这种级数的极限。莱布尼兹劝沃尔夫再好好考虑一下，认为他说不定“可以搞出一些于他于科学都有价值的东西。”[ 4]
任何具有规律性、线性和稳定性 的求和方法都能对等比数列 （几何级数）求和
∑
k
=
0
n
a
r
k
=
a
1
−
r
{\displaystyle \sum _{k=0}^{n}ar^{k}={\frac {a}{1-r}}}
在这种情况下 a = 1 且 r = −2，所以级数和是 ⅓。
在他1755年的《Institutiones》上，莱昂哈德·欧拉 采用了现在被称为欧拉变换 的方式处理1 − 2 + 4 − 8 + … ，得到了收敛级数½ − ¼ + ⅛ − 1 /16 + … 1 − 2 + 4 − 8 + … = ⅓ 。[ 5] 1 − 2 + 4 − 8 + … 是欧拉可求和 ，其欧拉和是⅓。[ 6]
《Institutiones 》节选 欧拉变换以正项序列开始：
a 0 = 1,a 1 = 2,a 2 = 4,a 3 = 8, ….而前向差分 序列是
Δa 0 = a 1 − a 0 = 2 − 1 = 1,
Δa 1 = a 2 − a 1 = 4 − 2 = 2,
Δa 2 = a 3 − a 2 = 8 − 4 = 4,
Δa 3 = a 4 − a 3 = 16 − 8 = 8, …, 这一序列与上一序列正好相同。因此对于每一n ，迭代前向差分序列均以Δn a 0 = 1 开始。级数的欧拉变换如下：
a
0
2
−
Δ
a
0
4
+
Δ
2
a
0
8
−
Δ
3
a
0
16
+
⋯
=
1
2
−
1
4
+
1
8
−
1
16
+
⋯
.
{\displaystyle {\frac {a_{0}}{2}}-{\frac {\Delta a_{0}}{4}}+{\frac {\Delta ^{2}a_{0}}{8}}-{\frac {\Delta ^{3}a_{0}}{16}}+\cdots ={\frac {1}{2}}-{\frac {1}{4}}+{\frac {1}{8}}-{\frac {1}{16}}+\cdots .}
上述级数是一收敛等比级数 ，按常规求和公式得出其和为⅓。
1 − 2 + 4 − 8 + … 的博雷尔和 也是 ⅓；博雷尔 于1896年介绍了博雷尔和极限的公式，这是他在关于1 − 1 + 1 − 1 + … [ 7]
Leibniz pp.205-207; Knobloch pp.124-125. 引自《De progressionibus intervallorum tangentium a vertice 》，拉丁语原文：“Nunc fere cum neutrum liceat, aut potius cum non possit determinari utrum liceat, natura medium eligit, et totum aequatur finito.”
沃尔夫第一次对信件的引用是发表在《Acta Eruditorum 》的来自德国哈雷 的一封信中，日期为1712年6月12日；Gerhardt，第143－146页。 引言是Moore的解释（第2－3页）；出自Gerhardt pp.147-148莱布尼兹的信，日期为1712年7月13日，来自汉诺威 。
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