在群论中,点灯夫群(英语:Lamplighter group)是两个群
和
的圈积
,也可以表示为两个群
和
的半直积
![{\displaystyle \left(\bigoplus _{\mathbb {Z} }(\mathbb {Z} /2\mathbb {Z} )\right)\rtimes \mathbb {Z} }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/56147dd6a8bf633c292259179d6259ed6ae71e7b)
其中
以平移作用于
。
点灯夫群是有限生成群,不过并非有限展示的。点灯夫群有如下标准展示:
![{\displaystyle \langle a,t\mid a^{2},[t^{i}at^{-i},t^{j}at^{-j}],i,j\in \mathbb {Z} \rangle }](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/383e785ca81e5211be986946da4e56b127386ad3)
点灯夫群的名称来自以下阐释:假设有一列向左右无限伸延的街灯及一个点灯夫。每盏街灯有明和暗两种状态。起初点灯夫在原点处的街灯下,而所有灯都关了。点灯夫群的元素,可视为对点灯夫的指示:把元素用a, t写成一个字,然后从左到右读,如果是a,点灯夫把面前的街灯点亮或者熄灭;如果是t,点灯夫向右移到下一个街灯;如果是t-1,点灯夫向左移到下一个街灯。这样每个元素就代表街灯的状态及点灯夫的位置。[1]
点灯夫群特别之处,在于这个群是可均群(因为是可解群),却有指数增长率。[2]