卡布列克常数

卡布列克常数（英语：Kaprekar's constant），又称卡布列克常式（英语：Kaprekar's routine）、卡普雷卡尔常数、卡普雷卡尔常式、黑洞数，是指一种专指四位数的特定函数关系，在某排列顺序后，其演算式最后都会对应到6174。因此又名：6174问题、数字固定点、数字黑洞等...

关于黑洞数

黑洞数是指于四位数中，只要数字不完全相同，将数字由大到小的排列减去由小到大的排列，经有限操作后，总会得到某一个或一些数的数^[1]。假设一开始选定的数字为${\displaystyle x_{1}}$，${\displaystyle x_{2}}$=f(${\displaystyle x_{1}}$)，${\displaystyle x_{3}}$=f(${\displaystyle x_{2}}$)，...，${\displaystyle x_{n}}$=f(${\displaystyle x_{n-1}}$) 用同样的规则继续算下去，最后的结果一定是6174^[1]。 比如说一开始选定9891，则f(9891)=9981-1899=8082，f(8082)=8820-0288=8532，f(8532)=8532-2358=6174，f(6174)=7641-1467=6174~
其他的四位数经过这样一系列的运算后，在七步之内都会对应到6174。这种现象类似黑洞（进去后就出不来了），故称为黑洞数^[1]。

历史

1955年^[2]，由卡普耶卡（英语：D. R. Kaprekar）(D.R.Kaprekar)所提出，前苏联作家高基莫夫，在其所著数学的敏感一书，曾将其列为“没有揭开的秘密”。目前，这个问题已获解决。解决的方式在于“任意整数之固定点及k次循环之搜寻”。

其它位数的状况

其实并非只有四位数有这样的状况，三位数也有一数495，任何三位数经过这样的运算都会对应到495。其它位数就没有像三位数及四位数这样单纯的状况，会对应到不只一种结果，或是进入数字循环(即数个数循环对应)。
2位数的状况:没有黑洞，只有1个5成员的循环

09${\displaystyle \to }$81${\displaystyle \to }$63${\displaystyle \to }$27${\displaystyle \to }$45${\displaystyle \to }$09

5位数的状况:没有黑洞，有3个循环

71973${\displaystyle \to }$83952${\displaystyle \to }$74943${\displaystyle \to }$62964${\displaystyle \to }$71973

82962${\displaystyle \to }$75933${\displaystyle \to }$63954${\displaystyle \to }$61974${\displaystyle \to }$82962

53955${\displaystyle \to }$59994${\displaystyle \to }$53955

6位数的状况:有2个黑洞631764、549945，还有1个7个成员的循环

420876${\displaystyle \to }$851742${\displaystyle \to }$750843${\displaystyle \to }$840852${\displaystyle \to }$860832${\displaystyle \to }$862632${\displaystyle \to }$642654${\displaystyle \to }$420876

7位数的状况:没有黑洞，只有1个8成员的循环

7509843${\displaystyle \to }$9529641${\displaystyle \to }$8719722${\displaystyle \to }$8649432${\displaystyle \to }$7519743${\displaystyle \to }$8429652${\displaystyle \to }$7619733${\displaystyle \to }$8439552${\displaystyle \to }$7509843

8位数的状况:有2个黑洞63317664、97508421，还有2个循环

86526432${\displaystyle \to }$64308654${\displaystyle \to }$83208762${\displaystyle \to }$86526432

86308632${\displaystyle \to }$86326632${\displaystyle \to }$64326654${\displaystyle \to }$43208766${\displaystyle \to }$85317642${\displaystyle \to }$75308643${\displaystyle \to }$84308652${\displaystyle \to }$86308632

9位数的状况:有2个黑洞554999445、864197532，还有1个14个成员的循环

883098612${\displaystyle \to }$976494321${\displaystyle \to }$874197522${\displaystyle \to }$865296432${\displaystyle \to }$763197633${\displaystyle \to }$844296552${\displaystyle \to }$762098733${\displaystyle \to }$964395531${\displaystyle \to }$863098632${\displaystyle \to }$965296431${\displaystyle \to }$873197622${\displaystyle \to }$865395432${\displaystyle \to }$753098643${\displaystyle \to }$954197541${\displaystyle \to }$883098612

10位数的状况:有3个黑洞6333176664、9753086421、9975084201，还有5个循环

8653266432${\displaystyle \to }$6433086654${\displaystyle \to }$8332087662${\displaystyle \to }$8653266432

6431088654${\displaystyle \to }$8732087622${\displaystyle \to }$8655264432${\displaystyle \to }$6431088654

6543086544${\displaystyle \to }$8321088762${\displaystyle \to }$8765264322${\displaystyle \to }$6543086544

8633086632${\displaystyle \to }$8633266632${\displaystyle \to }$6433266654${\displaystyle \to }$4332087666${\displaystyle \to }$8533176642${\displaystyle \to }$7533086643${\displaystyle \to }$8433086652${\displaystyle \to }$8633086632

9775084221${\displaystyle \to }$9755084421${\displaystyle \to }$9751088421${\displaystyle \to }$9775084221

参考资料

1. 數學黑洞的魅力：6174到底憑什麼讓你癡迷. BBC. 2019-12-14 [2022-08-08]. （原始内容存档于2022-10-08） （中文（繁体））.
2. 1949年： Kaprekar, D. R. (1949). "Another Solitaire Game". Scripta Mathematica 15: 244–245.

相关条目

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