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数学中,麦克劳林不等式(Maclaurin's inequality),以科林·麦克劳林冠名,是算术几何平均不等式的加细。
设 a1, a2, ..., an 是正实数,对 k = 1, 2, ..., n 定义平均 Sk 为
这个分式的分子是度数为 n 变元 a1, a2, ..., an 的 k 阶基本对称多项式,即 a1, a2, ..., an 中指标递增的任意 k 个数乘积之和。分母是分子的项数,二项式系数 。
麦克劳林不等式是如下不等式链:
等号成立当且仅当所有 ai 相等。
对 n = 2,这个给出两个数通常的几何算术平均不等式。n = 4 的情形很好地展示了麦克劳林不等式:
于是,综上所述,可以证明对所有的,都有:
麦克劳林不等式得证。
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