高欧拉商数
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高欧拉商数(highly totient number)k是有以下性质,大于1的正整数:使以下方程式有多个解
- φ(x) = k
其中φ是欧拉函数,而且若k用其他较小的整数代入时,解的个数都会比刚刚的个数要少。
例如方程式φ(x) = k,在k=1,2,3,4,5,6,7,8时,分别有2,3,0,4,0,4,0,5个解,φ(x) = 8有5个解,若代入小于8的数值,解都少于5个,因此8是高欧拉商数。
头几个高欧拉商数是:
1, 2, 4, 8, 12, 24, 48, 72, 144, 240, 432, 480, 576, 720, 1152, 1440 (OEIS数列A097942).
分别使上述方程有1, 3, 4, 5, 6, 10, 11, 17, 21, 31, 34, 37, 38, 49, 54及72个解。若将使φ(x) = k分别恰有0个解、1个解、2个解……的最小k值组成一个数列,则高欧拉商数会是此数列的一个子集[1]。例如8为高欧拉商数,φ(x) = 8有5个解,表示任何小于8的整数都无法使φ(x) = k有5个解,因此8是使φ(x) = k有5个解的最小k值。
若x的质因数分解为,其欧拉商数为以下的乘积:
因此,高欧拉商数和较小的整数相比,高欧拉商数可以表示为更多种以上式表示的乘积。
高欧拉商数的概念有点类似高合成数;1既是高合成数中唯一的奇数,也是高欧拉商数中唯一的奇数(其实1是欧拉函数值域中唯一的奇数)。而且高欧拉商数和高合成数都有无限多个,不过随着数字的增加,要找到高欧拉商数也就越来困难,因为欧拉商数和质因数分解有关,数字越大,就越难进行质因数分解。