高斯积分(英语:Gaussian integral),有时也被称为概率积分,是高斯函数(e−x2)在整个实数线上的积分。它得名于德国数学家兼物理学家卡尔·弗里德里希·高斯之姓氏。
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-x^{2}}dx={\sqrt {\pi }}}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/e84d0d95e7b6197d827e8103191fd001382087a9)
f(x) = e−x2 的图像,这个函数与 x 轴之间的面积等于
。
高斯积分用处很广。例如,利用换元积分法,它可以用来计算正态分布的归一化常数。在极限为有限值的时候,高斯积分与正态分布的误差函数和累积分布函数密切相关。在物理学中,这种积分也经常出现:例如在量子力学中,谐振子基态的概率密度;在路径积分公式中,谐振子的传播子;以及统计力学中的配分函数,以上的计算都要用到这个积分。
我们可以通过Risch算法证明误差函数不具有初等函数形式;尽管如此,高斯积分可以通过多元微积分方法分析求解。虽然不定积分
无法用初等函数表示,但定积分
是可以计算的。
任意高斯函数的定积分为
![{\displaystyle \int _{-\infty }^{\infty }e^{-a(x+b)^{2}}\,dx={\sqrt {\frac {\pi }{a}}}.}](//wikimedia.org/api/rest_v1/media/math/render/svg/48754bed1ff9fb0a9d6fd43a25e4ec08ea111a24)