长度 (模论)
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在数学中,设 为环,一个
-模 之长度是一个整数(包括无穷大),它推广了向量空间的维度。有限长度的模与有限维向量空间有许多共通性。
动机
单模是除了零和本身外没有子模的模,这种模有时也称为不可约模。例如不可约的向量空间(视为域或除环上的模)是一条直线。对于单模,我们只可能造出一种严格递增的子模链:
单模是容易处理的对象。对于一个环 上的
-模
,如果我们能找到一条严格递增的子模链:
使得每个子商 都是单模,那么此链将是极大的——我们无法插入新的子模。根据以下将阐述的定义,这时
将是有限长度的模,其长度
恰为
。
因此单模正好是长度为一的模。另一个例子:设 是域
上的有限维向量空间,那么一个极大的子模链是一族子空间
,使得维度在每一步都加一:
而此时 ,这种资料称作旗。
定义
设 为一个环(可能非交换), 一个
-模
的长度定义为严格递增的子模链长度的上确界:此即最大可能的整数
(可能是无穷大),使得
中存在严格递增的子模链
。模
的长度记为
,不致混淆时也迳写作
。
例子
- 模
是单模的充要条件是长度为一。
- 对于向量空间,长度等于维度。
- 整数环
视为
-模,则其长度为无穷大,因为存在任意长的子模链
。
- 设正整数
的素因数分解为
,则有
性质
有限长的模具有许多类似有限维向量空间的性质。例如:若 为有限长模,则其子模皆有限长,设
为两个子模,
且
,则
。
我们有 Grassman 公式:
对于有限长模 ,一个极大的子模链
称为一个合成列,其长度
是固定的,且合成因子
在至多差一个置换与同构的意义下唯一。
文献
- Serge Lang, Algebra (2002), Graduate Texts in Mathematics 211, Springer. ISBN 0-387-95385-X