超素数

超素数也称为高阶素数，是指在素数序列中，第2个、第3个、第5个……等序数为素数的数。换句话说，若将正整数和素数从小到大两两对应排列，让正整数的1对应素数的2，则正整数那列为素数的数字，素数那列对应的就是超素数。

超素数有

3, 5, 11, 17, 31, 41, 59, 67, 83, 109, 127, 157, 179, 191, 211, 241, 277, 283, 331, 353, 367, 401, 431, 461, 509, 547, 563, 587, 599, 617, 709, 739, 773, 797, 859, 877, 919, 967, 991, ... （OEIS数列A006450）.

若p(i) 表示第i个素数，则超素数即为p(p(i))。

n	1	2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16	17	18	19	20
p(n)	2	3	5	7	11	13	17	19	23	29	31	37	41	43	47	53	59	61	67	71
p(p(n))	3	5	11	17	31	41	59	67	83	109	127	157	179	191	211	241	277	283	331	353

Dressler & Parker (1975)利用电脑辅助的证明（和子集和问题的计算有关）证明了所有大于96的数都可以表示为几个相异超素数的和。此证明的基础和伯特兰-切比雪夫定理有关，说明（大于11的每一个超素数，都比前一个的二倍要小。

Broughan及Barnett^[1]证明了小于x的超素数数量如下

${\displaystyle {\frac {x}{(\log x)^{2}}}+O\left({\frac {x\log \log x}{(\log x)^{3}}}\right)}$

这可以说明超素数的集合是小集（集合倒数的和会收敛）。

也可以用类似的方式定义更高阶的素数，产生类似的数列Fernandez (1999)。

超素数的一个变体是序数为回文素数的素数，数列如下

3, 5, 11, 17, 31, 547, 739, 877, 1087, 1153, 2081, 2381, ... （OEIS数列A124173）.

参考资料

1. Kevin A. Broughan and A. Ross Barnett, On the Subsequence of Primes Having Prime Subscripts （页面存档备份，存于互联网档案馆）, Journal of Integer Sequences 12 (2009), article 09.2.3.

• Bayless, Jonathan; Klyve, Dominic; Oliveira e Silva, Tomás, New bounds and computations on prime-indexed primes, Integers, 2013, 13: A43:1–A43:21 [2024-03-11], MR 3097157, （原始内容存档于2023-06-07）
• Broughan, Kevin A.; Barnett, A. Ross, On the subsequence of primes having prime subscripts, Journal of Integer Sequences, 2009, 12, article 09.2.3 [2015-08-25], （原始内容存档于2015-09-11）
• Dressler, Robert E.; Parker, S. Thomas, Primes with a prime subscript, Journal of the ACM, 1975, 22 (3): 380–381, MR 0376599, doi:10.1145/321892.321900.
• Fernandez, Neil, An order of primeness, F(p), 1999 [2015-08-25], （原始内容存档于2012-07-10）.

外部链接

• A Russian programming contest problem related to the work of Dressler and Parker